Équation différentielle de l'évolution de la température

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Équation canonique : dTdt + T/ = T_ext. • Solution temporelle : T(t) = T_ext + (T_0 - T_ext) e^-t/. • Temps caractéristique : = m c/h S (en secondes s). • Asymptote horizontale : T() = T_ext. • Dérivée temporelle : dTdt = -T_0 - T_ext e^-t/.

Le cours

Formulation mathématique et solution analytique exponentielle En réarrangeant le bilan d'énergie m c dTdt = - h S (T(t) - T_ext), on obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre : • Équation différentielle canonique : dT(t)dt + 1/ T(t) = 1/ T_ext ou encore : dTdt + T(t) - T_ext = 0 avec le temps caractéristique défini par : = m c/h S • Solution générale pour un refroidissement (avec température initiale T(0) = T_0) : T(t) = T_ext + (T_0 - T_ext) \, e^-t/ • Pour un réchauffement (T_0 < T_ext), l'expression est la même ; dans les deux cas : - Lorsque t , e^-t/ 0, donc T(t) T_ext : le corps tend asymptotiquement vers l'équilibre thermique avec le milieu ambiant. - En t = 0, e^0 = 1, donc T(0) = T_ext + (T_0 - T_ext) = T_0 (condition initiale satisfaite).

Dans ce chapitre

• Échelles de température Celsius et Kelvin
• Changements d'état et énergie massique de changement d'état
• Frontières d'un système thermodynamique
• Énergie interne et énergie totale d'un système
• Premier principe de la thermodynamique
• Capacité thermique massique et échauffement sans transition de phase
• Les trois modes de transfert thermique
• Flux thermique et puissance transférée
• Résistance thermique de conduction d'une paroi plane
• Loi thermique de conduction et analogie électrique
• Bilan d'énergie et loi de refroidissement de Newton
• Équation différentielle de l'évolution de la température
• Temps caractéristique de relaxation thermique et réponse indicielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur la thermodynamique et les transferts thermiques