Calculs de longueurs sur la sphère et loxodromie vs orthodromie

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• À la surface d'une sphère, la géométrie n'est pas euclidienne plane mais sphérique : • Orthodromie (chemin le plus court) : - Le chemin géométrique le plus court reliant deux points à la surface d'une sphère est le plus petit arc de grand cercle passant par ces deux points (appelé géodésique ou route orthodromique). - Un grand cercle est un cercle ayant le même centre et le même rayon R que la sphère. - Inconvénient en navigation : le cap (angle par rapport au nord) varie en permanence le long de la trajectoire orthodromique. • Loxodromie (route à cap constant) : - Une route loxodromique coupe tous les méridiens sous un angle constant : le navigateur n'a pas besoin de changer de cap et maintient une direction constante à la boussole. - Sur une sphère, une loxodromie qui n'est ni un méridien ni un parallèle est une spirale qui s'enroule indéfiniment autour d'un pôle en s'en rapprochant. - Sur une carte en projection conforme de Mercator, la loxodromie est représentée par une ligne droite, tandis que l'orthodromie est une courbe incurvée vers le pôle. - Inconvénient : la loxodromie est plus longue que l'orthodromie (sauf le long d'un méridien ou de l'équateur, où les deux routes coïncident), l'écart devenant considérable pour les longues liaisons est-ouest à haute latitude. • Calcul de la distance orthodromique : - Distance angulaire entre A(_A, _A) et B(_B, _B) : = _A _B + _A _B (_B - _A) - Distance au sol, par proportionnalité avec le grand cercle de périmètre 2 R : d_ortho = /360^ 2 R (avec en degrés).

Le cours

Calculs de longueurs sur la sphère et loxodromie vs orthodromie • À la surface d'une sphère, la géométrie n'est pas euclidienne plane mais sphérique : • Orthodromie (chemin le plus court) : - Le chemin géométrique le plus court reliant deux points à la surface d'une sphère est le plus petit arc de grand cercle passant par ces deux points (appelé géodésique ou route orthodromique). - Un grand cercle est un cercle ayant le même centre et le même rayon R que la sphère. - Inconvénient en navigation : le cap (angle par rapport au nord) varie en permanence le long de la trajectoire orthodromique. • Loxodromie (route à cap constant) : - Une route loxodromique coupe tous les méridiens sous un angle constant : le navigateur n'a pas besoin de changer de cap et maintient une direction constante à la boussole. - Sur une sphère, une loxodromie qui n'est ni un méridien ni un parallèle est une spirale qui s'enroule indéfiniment autour d'un pôle en s'en rapprochant. - Sur une carte en projection conforme de Mercator, la loxodromie est représentée par une ligne droite, tandis que l'orthodromie est une courbe incurvée vers le pôle. - Inconvénient : la loxodromie est plus longue que l'orthodromie (sauf le long d'un méridien ou de l'équateur, où les deux routes coïncident), l'écart devenant considérable pour les longues liaisons est-ouest à haute latitude. • Calcul de la distance orthodromique : - Distance angulaire entre A(_A, _A) et B(_B, _B) : = _A _B + _A _B (_B - _A) - Distance au sol, par proportionnalité avec le grand cercle de périmètre 2 R : d_ortho = /360^ 2 R (avec en degrés). Astuce et méthode clé Pense à la ficelle tendue sur un globe terrestre : elle prend naturellement la forme de l'arc de grand cercle (orthodromie), qui paraît courbé vers le pôle sur les cartes plates. Piège classique à éviter Ne confonds pas la droite sur la carte de Mercator (qui est une loxodromie plus longue) et la trajectoire la plus courte dans l'espace tridimensionnel réel (orthodromie).

Dans ce chapitre