Fondamental et harmoniques d'un signal

Terminale Technologique · Physique-Chimie Terminale Technologique

À retenir

• Tout signal périodique de fréquence f_1 est la somme d'un fondamental (f_1) et d'harmoniques (f_n = n f_1). • Le fondamental (n=1) a la même période et la même fréquence que le signal complexe. • L'harmonique de rang n possède une fréquence f_n = n f_1 et une période T_n = T_1/n. • L'espacement spectral entre harmoniques successifs est égal à f_1.

Le cours

1. Théorème de Fourier et décomposition harmonique Le théorème mathématique de Fourier énonce que tout signal périodique s(t) de fréquence f_1 (et de période T) peut être décomposé de manière unique en la somme d'une composante continue A_0 et de composantes sinusoïdales pures (en nombre fini ou infini) dont les fréquences sont des multiples entiers de f_1 : s(t) = A_0 + _n=1^+ A_n (2 f_n t + _n) avec f_n = n f_1 • Le terme de rang n=1 de fréquence f_1 est appelé le fondamental (ou harmonique de rang 1). Sa fréquence est égale à celle du signal périodique global. • Les termes de rang n 2 de fréquence f_n = n f_1 sont appelés les harmoniques (harmonique de rang 2 pour 2f_1, de rang 3 pour 3f_1, etc.). • Le nombre entier n est le rang de l'harmonique. 2. Propriétés fréquentielles des harmoniques Sur le spectre en fréquences, l'écart entre deux harmoniques consécutifs est constant et vaut précisément la fréquence du fondamental : f = f_n+1 - f_n = (n+1)f_1 - n f_1 = f_1 • Les raies spectrales sont régulièrement espacées d'un pas égal à f_1. • Si une raie manque (amplitude nulle pour un harmonique particulier), les autres raies restent positionnées sur les multiples entiers n f_1. • La période temporelle de l'harmonique de rang n est T_n = T/n. 3. Piège de numérotation des harmoniques Ne pas confondre le rang harmonique n et l'ordre d'apparition des raies non nulles. Par exemple, pour un signal carré dont seuls les harmoniques impairs existent (f_1, 3f_1, 5f_1), la deuxième raie visible sur le spectre est l'harmonique de rang 3 (n=3) et non pas l'harmonique de rang 2.

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