Transformée de Fourier d'un signal et composantes fréquentielles

Terminale Technologique · Physique-Chimie Terminale Technologique

À retenir

• La transformée de Fourier (FFT) calcule le contenu spectral d'un signal temporel quelconque. • Les signaux transitoires possèdent un spectre continu. • Théorème de Shannon : fréquence d'échantillonnage f_e > 2 f_ sous peine de repliement de spectre. • Résolution fréquentielle de la FFT : f = 1/ T = f_e/N.

Le cours

1. Principe de la transformée de Fourier Alors que les séries de Fourier s'appliquent aux signaux strictement périodiques (spectres de raies discrètes), la transformée de Fourier (TF) généralise cette analyse à tous les signaux, y compris les signaux transitoires, apériodiques ou aléatoires. Elle transforme une fonction temporelle s(t) en une fonction fréquentielle continue S(f) représentant la densité spectrale d'amplitude (formule donnée pour information) : S(f) = _-^+ s(t)\,e^-j 2 f t\,dt • Le spectre d'un signal transitoire ou impulsionnel est un spectre continu (l'énergie est étalée sur une bande continue de fréquences). • La transformée de Fourier inverse permet de reconstruire fidèlement le signal temporel à partir de son spectre fréquentiel. • La FFT (Fast Fourier Transform ou Transformée de Fourier Rapide) est l'algorithme numérique implanté dans les oscilloscopes et cartes d'acquisition pour calculer en temps réel le spectre d'un signal échantillonné. 2. Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon Pour numériser un signal continu et calculer sa transformée de Fourier sans perte d'information ni distorsion, la fréquence d'échantillonnage f_e du convertisseur analogique-numérique (CAN) doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale f_ contenue dans le signal : f_e > 2 f_ • La fréquence f_N = f_e/2 est appelée la fréquence de Nyquist. • Si cette condition n'est pas respectée (f_e 2f_), un phénomène parasite de repliement de spectre (aliasing) apparaît : des fréquences aiguës sont faussement détectées comme des fréquences graves inexistantes. • On place toujours un filtre passe-bas anti-repliement en amont de l'échantillonneur. 3. Résolution fréquentielle de la FFT Sur un oscilloscope numérique acquérant N points avec une période d'échantillonnage T_e = 1/f_e, la durée totale de la fenêtre d'observation est T = N T_e. La résolution fréquentielle (le plus petit écart de fréquence distinguable entre deux raies) vaut : f = 1/ T = f_e/N Pour séparer deux raies spectrales très proches, il faut augmenter la durée d'enregistrement T.

Dans ce chapitre