Loi de décroissance radioactive d'un grand nombre de noyaux

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• N(t) est le nombre de noyaux radioactifs non encore désintégrés à la date t dans un échantillon macroscopique. • À chaque demi-vie t_1/2 écoulée, N est divisé par 2 : N_0 N_0/2 N_0/4 N_0/8 • Après n demi-vies : N = N_0/2^n ; pour une durée quelconque, N(t) = N_0 (1/2)^t/t_1/2. • La décroissance n'est pas linéaire : sur des durées égales, c'est la même proportion de noyaux, et non le même nombre, qui se désintègre. • L'activité A (en becquerels) est proportionnelle à N : elle est elle aussi divisée par 2 à chaque demi-vie.

Le cours

Loi de décroissance radioactive d'un grand nombre de noyaux • Pour un noyau isolé, l'instant de désintégration est aléatoire. Mais un échantillon macroscopique contient un nombre immense de noyaux (souvent plus de 10^15) : le nombre N(t) de noyaux non encore désintégrés à la date t évolue alors de façon prévisible. • Loi de décroissance : pendant chaque durée égale à la demi-vie t_1/2, la moitié des noyaux encore présents se désintègre. Le nombre de noyaux est donc divisé par 2 à chaque demi-vie : N_0 \;\;t_1/2\;\; N_0/2 \;\;t_1/2\;\; N_0/4 \;\;t_1/2\;\; N_0/8 • Après n demi-vies, il reste N = N_0/2^n noyaux. Pour une durée t quelconque, on utilise la fonction x (1/2)^x vue en mathématiques : N(t) = N_0 (1/2)^t/t_1/2 • Allure de la courbe : N(t) décroît vite au début, puis de plus en plus lentement, et se rapproche de 0. Ce n'est pas une droite : sur des durées égales, c'est la même proportion de noyaux qui disparaît, et non le même nombre. • Activité : l'activité A d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde ; elle s'exprime en becquerels (1 Bq = 1 désintégration par seconde). Elle est proportionnelle au nombre de noyaux restants : elle est donc, elle aussi, divisée par 2 à chaque demi-vie. Méthode : nombre de noyaux restants 1. Calculer le nombre de demi-vies écoulées n = tt_1/2, avec t et t_1/2 dans la même unité. 2. Diviser N_0 (ou A_0) par 2^n ; si n n'est pas entier, calculer (1/2)^n à la calculatrice. 3. Contrôler : le résultat doit être compris entre les valeurs obtenues pour les nombres entiers de demi-vies qui encadrent n. Mini-exemple : t_1/2 = 2 h, N_0 = 6,4 10^9 et t = 6 h donnent n = 3, donc N = 6,4 10^98 = 8,0 10^8 noyaux. Pour aller plus loin (Terminale) : on décrit la même loi avec la constante radioactive , probabilité de désintégration par unité de temps. Astuce et méthode clé Pour savoir ce qu'il reste, commence toujours par calculer le rapport tt_1/2 dans une même unité : s'il vaut 3, il reste 1/2^3 = 1/8 des noyaux, soit 12,5\,\%. Piège classique à éviter Ne raisonne pas comme pour une droite : au bout de la moitié d'une demi-vie, il ne reste pas 75\,\% des noyaux mais environ 71\,\%, car (1/2)^0,5 0,707.

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