Modèle démographique logistique et capacité d'accueil du milieu (Verhulst)

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Pour corriger l'irréalisme du modèle exponentiel de Malthus, le mathématicien belge Pierre-François Verhulst (1838) introduit la notion écologique de capacité d'accueil du milieu K. • Notion de densité-dépendance : - À mesure que la densité d'une population augmente, la compétition intraspécifique s'intensifie (accès restreint à la nourriture, raréfaction des sites de nidification, propagation facilitée des parasites). - Le taux de natalité diminue et le taux de mortalité augmente : la croissance ralentit. • L'équation différentielle logistique de Verhulst : dN/dt = r N (1 - N/K) - r : taux de croissance intrinsèque maximal. - K : capacité de charge (effectif maximal d'équilibre durable dans l'environnement). - Le terme correcteur (1 - N/K) traduit la résistance du milieu : il vaut presque 1 quand N est petit et tend vers 0 quand N approche K. • Allure de la courbe logistique (courbe sigmoïde en S) : - Phase 1 (N K) : le terme (1 - N/K) 1, la croissance est quasi exponentielle. - Phase 2 (N = K/2) : point d'inflexion où la vitesse de croissance dN/dt est maximale (.dN/dt|_ = rK/4). - Phase 3 (N K) : la croissance s'amortit et la population se stabilise asymptotiquement autour de K (dN/dt 0).

Le cours

Modèle démographique logistique et capacité d'accueil du milieu (Verhulst) • Pour corriger l'irréalisme du modèle exponentiel de Malthus, le mathématicien belge Pierre-François Verhulst (1838) introduit la notion écologique de capacité d'accueil du milieu K. • Notion de densité-dépendance : - À mesure que la densité d'une population augmente, la compétition intraspécifique s'intensifie (accès restreint à la nourriture, raréfaction des sites de nidification, propagation facilitée des parasites). - Le taux de natalité diminue et le taux de mortalité augmente : la croissance ralentit. • L'équation différentielle logistique de Verhulst : dN/dt = r N (1 - N/K) - r : taux de croissance intrinsèque maximal. - K : capacité de charge (effectif maximal d'équilibre durable dans l'environnement). - Le terme correcteur (1 - N/K) traduit la résistance du milieu : il vaut presque 1 quand N est petit et tend vers 0 quand N approche K. • Allure de la courbe logistique (courbe sigmoïde en S) : - Phase 1 (N K) : le terme (1 - N/K) 1, la croissance est quasi exponentielle. - Phase 2 (N = K/2) : point d'inflexion où la vitesse de croissance dN/dt est maximale (.dN/dt|_ = rK/4). - Phase 3 (N K) : la croissance s'amortit et la population se stabilise asymptotiquement autour de K (dN/dt 0). Astuce et méthode clé Retiens le point culminant de la productivité : la population s'accroît le plus vite exactement lorsqu'elle a atteint la moitié de sa capacité d'accueil (N = K/2) ! Piège classique à éviter Si accidentellement N > K (surpopulation passagère), le terme (1 - N/K) devient négatif : dN/dt < 0, la population décroît naturellement pour revenir vers K.

Dans ce chapitre