Produit scalaire de deux vecteurs en Mathématiques de Première

Première générale Spé · Physique-Chimie Spé 1ère

À retenir

• u v = \|u\| \|v\| : c'est un nombre, pas un vecteur. • En repère orthonormé : u v = x\,x' + y\,y'. • Signe : positif si 90^.

Le cours

1. Définition Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls, qui forment un angle , est le nombre réel : u v = \|u\| \|v\| Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. 2. Expression en coordonnées et propriétés Dans un repère orthonormé, si u\,(x ; y) et v\,(x' ; y'), alors u v = x\,x' + y\,y'. 0 positif ; = 90^ : produit nul (vecteurs orthogonaux) ; 90^ négatif. Interprétation : u v est le produit de \|u\| par la projection (avec son signe) de v sur la direction de u. En physique, c'est exactement le calcul du travail d'une force. 3. Méthode 1. Si l'on connaît les normes et l'angle : utiliser la formule avec le cosinus (calculatrice en degrés). 2. Si l'on connaît les coordonnées : utiliser x\,x' + y\,y'. 3. Pour trouver un angle : = u v\|u\| \|v\|. 4. Attention L'angle est celui entre les deux vecteurs placés à partir d'une même origine, pas l'angle avec l'horizontale ; et un produit scalaire nul n'impose pas qu'un vecteur soit nul : il suffit qu'ils soient orthogonaux.

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