Équation différentielle du premier ordre à second membre constant et solution exponentielle

Terminale Technologique · Physique-Chimie Terminale Technologique

À retenir

• Équation canonique : dy/dt + y = y_. • Solution de charge (y(0) = 0) : y(t) = y_(1 - e^-t/). • Solution de décharge (y_ = 0) : y(t) = y_0 e^-t/. • À t = : 63,2\,\% de l'échelon établi (croissance) ou 36,8\,\% restant (décroissance). • Durée pratique de réponse : t_99\,\% = 5.

Le cours

1. Forme canonique de l'équation différentielle En physique des systèmes transitoires du premier ordre (charge de condensateur, refroidissement thermique, vidange de cuve), la grandeur y(t) satisfait l'équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant : dy/dt + 1/ y(t) = y_ dy/dt + y(t) = y_ • est la constante de temps caractéristique du système en secondes (s). • y_ est la valeur finale du régime permanent atteint lorsque dy/dt 0 (t +). 2. Solution générale avec condition initiale Avec la condition initiale y(0) = y_0, la solution analytique unique s'écrit sous forme exponentielle : y(t) = y_ + (y_0 - y_) e^-t/ • Pour une croissance indicielle avec y(0) = 0 : y(t) = y_(1 - e^-t/). • Pour une décroissance libre avec y_ = 0 : y(t) = y_0 e^-t/. 3. Propriétés remarquables de l'exponentielle À t = , y() = y_(1 - e^-1) 0,632 y_ (63\,\% de la charge). La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale exactement à t = . À t = 3, 95\,\% est atteint ; à t = 5, le régime permanent est établi à plus de 99,3\,\%.

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