Résolution analytique de la loi d'ordre 1

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Forme exponentielle : [A](t) = [A]_0 e^-k t. • Forme linéarisée : ([A](t)) = -k t + ([A]_0). • Graphe ([A]) = f(t) : droite de pente -k. • La disparition n'est jamais totale en un temps fini, mais devient négligeable : au bout de t = 5/k, il reste e^-5 0,7\ \% du réactif.

Le cours

Solution exponentielle et linéarisation logarithmique L'équation différentielle d[A]/dt + k [A](t) = 0 avec la condition initiale [A](0) = [A]_0 admet pour unique solution : [A](t) = [A]_0 e^-k t La concentration du réactif décroît de manière purement exponentielle vers zéro. En appliquant le logarithme népérien , on obtient la forme affine linéarisée : ([A](t)/[A]_0) = -k t ([A](t)) = -k t + ([A]_0) Ainsi, pour un processus d'ordre 1, le graphe de ([A]) en fonction du temps t est une droite de pente négative -k et d'ordonnée à l'origine ([A]_0). Méthode : exploiter la loi intégrée • Concentration à une date : [A](t) = [A]_0\,e^-kt. • Date à laquelle il reste une fraction f du réactif : e^-kt = f, donc t = - f/k = (1/f)/k. • Vérification d'un résultat : la dérivée de [A]_0\,e^-kt vaut -k\,[A]_0\,e^-kt = -k\,[A](t), on retrouve bien l'équation différentielle. Mini-exemple : avec k = 0,10\ min^-1, il reste e^-1 37\ \% du réactif au bout de 10 min. Attention : logarithme d'un nombre sans unité On ne prend le logarithme que d'un nombre sans dimension : on trace en toute rigueur ([A]/c^) ou ([A]/[A]_0). Changer d'unité de concentration décale la droite verticalement mais ne modifie pas sa pente -k. En revanche, l'unité de temps choisie fixe l'unité de k (s^-1 ou min^-1).

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