Équation cartésienne de la trajectoire parabolique

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Trajectoire parabolique : y(x) = -g/2 v_0^2 ^2 x^2 + () x + y_0. • Indépendante de la masse m du projectile. • Plus la vitesse initiale v_0 est grande, plus la parabole est aplatie et tendue. • L'équation y(x) permet de vérifier si un projectile franchit un obstacle ou atteint une cible de coordonnées fixées.

Le cours

Formulation de la parabole de tir indépendante du temps En éliminant le paramètre temps t entre les deux équations horaires x(t) et y(t) : De x(t) = (v_0)\,t, on tire : t = x/v_0 En injectant cette expression dans y(t) = -1/2g\,t^2 + (v_0)\,t + y_0, on obtient l'équation cartésienne de la trajectoire : y(x) = -g/2\,v_0^2^2\,x^2 + ()\,x + y_0 C'est l'équation d'une parabole située dans le plan vertical de tir, dont la concavité est tournée vers le bas (coefficient du terme en x^2 strictement négatif). Méthode : exploiter l'équation de la trajectoire 1. Écrire les équations horaires x(t) et y(t) avec les conditions initiales de l'énoncé. 2. Isoler t dans x(t), puis le remplacer dans y(t) : on obtient y en fonction de x. 3. Pour savoir si le projectile franchit un obstacle de hauteur H situé à l'abscisse x_M, calculer y(x_M) et le comparer à H. 4. Pour trouver le point d'impact sur le sol, résoudre y(x) = 0 (équation du second degré) et garder la solution positive. Mini-exemple : avec v_0 = 10 m/s, = 30^, y_0 = 0 et g = 9,8 m/s^2, on a ^2 = 0,75 et 0,577, donc y(x) = -9,82 100 0,75\,x^2 + 0,577\,x -0,0653\,x^2 + 0,577\,x. Attention L'équation y(x) ne contient plus le temps : elle donne la forme de la trajectoire, pas l'instant de passage. Pour une durée (temps de vol, date d'impact), il faut revenir aux équations horaires. Elle suppose aussi 0 : pour un tir vertical ( = 90^), la trajectoire est un segment vertical et cette formule ne s'applique pas.

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