Étude analytique du sommet de la trajectoire (flèche)

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Condition au sommet : v_y = 0 (tangente horizontale à la trajectoire). • Vitesse au sommet minimale mais non nulle : v_S = v_0x = v_0. • Date au sommet : t_S = v_0/g. • Altitude maximale (flèche) pour y_0 = 0 : y_S = v_0^2^2/2 g.

Le cours

Altitude maximale et vitesse au sommet Le sommet S de la trajectoire est le point culminant atteint par le projectile (hauteur maximale appelée flèche H) : 1. Condition physique au sommet : au sommet, la vitesse verticale s'annule instantanément : v_y(t_S) = 0 -g\,t_S + v_0 = 0 2. Date de passage au sommet : t_S = v_0/g 3. Vitesse au sommet : la vitesse n'est PAS nulle, elle est purement horizontale et égale à v_x : v_S = (v_0)\,i v_S = v_0 4. Coordonnées du sommet : x_S = v_0^2(2)/2\,g ; y_S = H = v_0^2^2/2\,g + y_0 Méthode et symétrie de la trajectoire 1. Écrire v_y(t) = -g\,t + v_0 et résoudre v_y(t_S) = 0. 2. Remplacer t_S dans x(t) et y(t) pour obtenir les coordonnées du sommet. 3. Variante sans le temps : le sommet est le point où la tangente à la parabole y(x) est horizontale ; pour y = A x^2 + B x + y_0, son abscisse vaut x_S = -B/2A. Si le point d'arrivée est à la même altitude que le point de départ, la trajectoire est symétrique par rapport à la verticale du sommet : la durée totale du vol vaut 2\,t_S et l'abscisse du sommet vaut la moitié de la portée. Mini-exemple : pour un tir vertical ( = 90^) à v_0 = 14 m/s, t_S = 149,8 1,43 s et H = 14^22 9,8 = 10 m. Attention La formule y_S = v_0^2^2/2g + y_0 suppose > 0 : pour un tir horizontal ou dirigé vers le bas, le point le plus haut est le point de départ. Ne pas oublier d'ajouter y_0 quand le tir part d'une hauteur non nulle.

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