Vecteur position dans un repère cartésien

Première générale Spé · Physique-Chimie Spé 1ère

À retenir

• Vecteur position dans le repère (O ; i, j) lié au référentiel : OM(t) = x(t)\,i + y(t)\,j. • x(t) et y(t) sont les équations horaires du mouvement (x, y en m ; t en s). • Distance à l'origine : OM = x^2 + y^2. • Équation de la trajectoire : éliminer t entre x(t) et y(t).

Le cours

1. Vecteur position On associe au référentiel un repère orthonormé (O ; i, j), d'origine O fixe dans ce référentiel (on ajoute k pour un mouvement dans l'espace). La position du point M à la date t est repérée par le vecteur position : OM(t) = x(t)\,i + y(t)\,j Les fonctions x(t) et y(t), en mètres, sont les équations horaires du mouvement : elles donnent les coordonnées de M à chaque date t, en secondes. 2. Distance à l'origine et trajectoire La distance de M à l'origine est la norme du vecteur position : OM = x^2 + y^2. L'équation de la trajectoire relie y à x sans faire intervenir le temps : on l'obtient en exprimant t en fonction de x, puis en remplaçant dans y(t). 3. Méthode 1. Pour une position à une date donnée : remplacer t dans x(t) et y(t). 2. Pour la distance à l'origine : calculer x^2 + y^2. 3. Pour la trajectoire : isoler t dans l'équation la plus simple, puis substituer. Mini-exemple : si x(t) = 2t et y(t) = 3, alors y = 3 pour tout x : la trajectoire est une droite parallèle à l'axe des abscisses. 4. Attention OM n'est ni la distance parcourue ni une vitesse : un point immobile en M(3 ; 4) est en permanence à 5\ m de l'origine sans parcourir le moindre mètre.

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