Définition du vecteur vitesse comme dérivée du vecteur position

Première générale Spé · Physique-Chimie Spé 1ère

À retenir

• v(t) est la limite du vecteur vitesse moyenne quand t tend vers 0. • Coordonnées : v_x(t) = x'(t) et v_y(t) = y'(t) ; norme v = v_x^2 + v_y^2 en ms^-1. • Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Le cours

1. De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Entre les dates t et t + t, le vecteur vitesse moyenne vaut M(t)M(t+ t) t. Quand t devient de plus en plus petit, ce quotient se rapproche d'un vecteur limite : le vecteur vitesse instantanée v(t). Ses coordonnées sont donc les dérivées des équations horaires (dérivation vue en mathématiques ; les physiciens notent aussi dxdt) : v(t) = x'(t)\,i + y'(t)\,j v = v_x^2 + v_y^2 2. Caractéristiques Direction : tangente à la trajectoire au point M. Sens : celui du mouvement. Norme : la vitesse v à la date t, en ms^-1. 3. Méthode 1. Dériver x(t) et y(t) par rapport au temps. 2. Remplacer t par la date demandée. 3. Calculer la norme et, si besoin, interpréter les signes (sens du mouvement selon chaque axe). Mini-exemple : x(t) = 5t^2 donne v_x(t) = 10t, soit v_x = 20\ ms^-1 à t = 2\ s. 4. Attention La vitesse n'est pas la position divisée par la date : avec x(t) = 4t + 6, on a x(3)/3 = 6\ ms^-1, alors que la vitesse vaut 4\ ms^-1 à chaque instant.

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