Division euclidienne et soustractions successives de Collège

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Division euclidienne de a par b 0 : a = bq + r avec 0 r < b ; le couple (q, r) est unique. • Le quotient q est le nombre de fois que l'on peut soustraire b de a ; le reste est ce qui reste. • b divise a si et seulement si le reste de la division de a par b est nul. • Pour a b : PGCD(a, b) = PGCD(b, a - b), base de la méthode des soustractions successives.

Le cours

1. Division euclidienne Soient a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d'entiers naturels (q, r) tel que : a = bq + r avec 0 r On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. Le reste est nul si et seulement si b divise a : par exemple 84 = 12 7 + 0, donc 12 divise 84. 2. Division et soustractions successives Diviser a par b, c'est retirer b de a autant de fois que possible : le quotient q compte les soustractions, le reste r est ce qui reste quand on ne peut plus retirer b. Ainsi 23 - 5 - 5 - 5 - 5 = 3 donne 23 = 5 4 + 3. 1. Pour le PGCD par soustractions, on part de deux entiers a b et on remplace le plus grand par la différence a - b. 2. On recommence avec le nouveau couple jusqu'à obtenir deux nombres égaux : cette valeur commune est le PGCD. 3. Ce procédé est justifié par PGCD(a, b) = PGCD(b, a - b) : un diviseur commun de a et b divise aussi a - b, et réciproquement. 3. Attention au reste Une égalité a = bq + r n'est une division euclidienne que si 0 r < b. L'égalité 47 = 6 6 + 11 est exacte, mais 11 6 : la division euclidienne de 47 par 6 est 47 = 6 7 + 5.

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