Bilan : Synthèse et méthode sur Arithmétique : Théorèmes de Bézout, Gauss et Nombres premiers

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Équation ax + by = c : calculer d = PGCD(a ; b) ; si d ne divise pas c, aucune solution. • Sinon, diviser par d, trouver une solution particulière par Bézout, soustraire, conclure par Gauss, puis vérifier la réciproque. • Divisibilité par un produit : prouver la divisibilité par des facteurs premiers entre eux deux à deux. • Grandes puissances modulo un nombre premier p : réduire l'exposant modulo p - 1 (Fermat).

Le cours

Synthèse méthodologique : L'arsenal arithmétique de Terminale L'articulation entre l'algorithme d'Euclide, le théorème de Bézout, le théorème de Gauss et le petit théorème de Fermat constitue le cœur de la résolution des problèmes arithmétiques complexes et de la cryptographie moderne (chiffrement RSA). Algorithme d'Euclide & Bézout • Permet de calculer PGCD(a ; b). • Permet de trouver les coefficients (u ; v) de l'identité au + bv = PGCD(a ; b) par remontée. • Prouve qu'une fraction est irréductible si une combinaison linéaire vaut 1. Gauss & Fermat • a bc et PGCD(a ; b) = 1 a c (résolution de ax + by = c). • Si a et b divisent n avec PGCD(a ; b) = 1, alors ab divise n. • a^p-1 1 p pour réduire les grandes puissances modulo un nombre premier.

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