Théorème fondamental de l'arithmétique et décomposition en facteurs premiers

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Tout entier n 2 s'écrit de façon unique n = p_1^_1 p_k^_k (premiers distincts, exposants 1). • Nombre de diviseurs positifs : (_1 + 1)(_2 + 1) (_k + 1). • PGCD : exposants minimaux ; PPCM : exposants maximaux ; PGCD(a, b) PPCM(a, b) = ab. • n est un carré parfait si et seulement si tous ses exposants sont pairs.

Le cours

1. Théorème fondamental de l'arithmétique Tout entier naturel n 2 se décompose en produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près : n = p_1^_1 p_2^_2 p_k^_k où les p_i sont des nombres premiers distincts et les _i des entiers strictement positifs. L'existence vient du fait que le plus petit diviseur d > 1 de n est premier ; l'unicité repose sur le théorème de Gauss. 2. Conséquences • Les diviseurs positifs de n sont les p_1^_1 p_k^_k avec 0 _i _i ; il y en a (_1 + 1)(_2 + 1) (_k + 1). • PGCD(a, b) s'obtient avec les exposants minimaux, PPCM(a, b) avec les exposants maximaux, et PGCD(a, b) PPCM(a, b) = ab pour a, b > 0. • n est un carré parfait si et seulement si tous ses exposants sont pairs. 3. Méthode 1. Diviser par les nombres premiers dans l'ordre croissant, autant de fois que possible. 2. Regrouper les facteurs en puissances : 756 = 2^2 189 = 2^2 3^3 7. 3. Exploiter les exposants : 756 a (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 24 diviseurs positifs. 4. Attention Une décomposition n'est valable que si tous les facteurs sont premiers : 12 = 4 3 ou 12 = 2 6 ne sont pas des décompositions en facteurs premiers ; la seule est 12 = 2^2 3.

Dans ce chapitre