Théorème de Gauss et divisibilité de produits

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Gauss : si a bc et PGCD(a, b) = 1, alors a c. • Si a n, b n et PGCD(a, b) = 1, alors ab n. • Si un nombre premier p divise bc, alors p divise b ou p divise c.

Le cours

1. Théorème de Gauss Soient a, b, c trois entiers relatifs, a non nul. a bc \ et \ PGCD(a, b) = 1 a c Démonstration : d'après Bézout, il existe u et v tels que au + bv = 1. En multipliant par c : c = acu + bcv. Or a divise acu et a divise bc, donc a divise c. 2. Corollaires • Si a et b sont premiers entre eux et divisent tous les deux un entier n, alors ab divise n. • Si un nombre premier p divise un produit bc, alors p divise b ou p divise c (car si p ne divise pas b, alors PGCD(p, b) = 1). 3. Méthode 1. Repérer un produit bc dont on sait qu'il est divisible par a. 2. Vérifier que a est premier avec le facteur b que l'on veut « supprimer ». 3. Conclure que a divise l'autre facteur c. Exemple : si 9 4k, comme PGCD(9, 4) = 1, alors 9 k. 4. Attention L'hypothèse PGCD(a, b) = 1 est indispensable : 4 divise 6 10 = 60, mais 4 ne divise pas 10, car PGCD(4, 6) = 2.

Dans ce chapitre

• Division euclidienne et soustractions successives de Collège
• Nombres premiers et crible d'Ératosthène élémentaire de Collège
• Décomposition en facteurs premiers et plus grand commun diviseur (PGCD) de Seconde
• Algorithme d'Euclide et calcul du PGCD
• Identité de Bézout et entiers premiers entre eux
• Théorème de Gauss et divisibilité de produits
• Résolution complète des équations diophantiennes
• Petit théorème de Fermat et calculs d'inverses modulo p
• Théorème fondamental de l'arithmétique et décomposition en facteurs premiers
• Infinité des nombres premiers et crible d'Ératosthène
• Introduction au chiffrement asymétrique RSA
• Théorème de Bézout et algorithme d'Euclide étendu
• Théorème de Gauss, équations diophantiennes et Petit théorème de Fermat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Arithmétique : Théorèmes de Bézout, Gauss et Nombres premiers