Résolution complète des équations diophantiennes

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• ax + by = c a des solutions entières si et seulement si PGCD(a, b) divise c. • Après division par d = PGCD(a, b) : a'x + b'y = c' avec PGCD(a', b') = 1. • Si (x_0, y_0) est une solution : x = x_0 + b'k et y = y_0 - a'k, k Z.

Le cours

1. Équation diophantienne et condition d'existence Une équation diophantienne linéaire est une équation ax + by = c, avec a, b, c entiers (a et b non nuls), dont on cherche les solutions (x, y) Z^2. ax + by = c a des solutions PGCD(a, b) c En effet, d = PGCD(a, b) divise ax + by ; réciproquement, si c = dm, on multiplie une identité de Bézout au + bv = d par m. 2. Méthode de résolution 1. Diviser par d = PGCD(a, b) : a'x + b'y = c' avec PGCD(a', b') = 1. 2. Trouver une solution particulière (x_0, y_0) (de tête ou par Bézout). 3. Soustraire membre à membre : a'(x - x_0) = -b'(y - y_0). 4. Théorème de Gauss : b' divise x - x_0, d'où x = x_0 + b'k puis y = y_0 - a'k, k Z. 5. Réciproque : vérifier que ces couples sont bien solutions. 3. Interprétation Les solutions sont les points à coordonnées entières de la droite d'équation ax + by = c : ils sont régulièrement espacés, on passe de l'un au suivant en ajoutant b' à l'abscisse et en retranchant a' à l'ordonnée. 4. Attention Si PGCD(a, b) ne divise pas c, il n'y a aucune solution : 6x + 9y = 10 n'a pas de solution entière, car 6x + 9y est toujours un multiple de 3.

Dans ce chapitre