Identité de Bézout et entiers premiers entre eux

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a, b) = 1. • Bézout : PGCD(a, b) = 1 il existe (u, v) Z^2 tel que au + bv = 1. • Si au + bv = k, on sait seulement que PGCD(a, b) divise k. • Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec bc.

Le cours

1. Entiers premiers entre eux Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a, b) = 1, c'est-à-dire lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et -1. Exemple : 12 = 2^2 3 et 35 = 5 7 sont premiers entre eux. 2. Théorème de Bézout Soient a et b deux entiers relatifs non tous deux nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 Le sens « » est immédiat : un diviseur commun d de a et b divise au + bv = 1, donc d = 1. Plus généralement, il existe toujours des entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a, b) (identité de Bézout). 3. Méthode et corollaire 1. Pour prouver que a et b sont premiers entre eux, chercher une combinaison au + bv égale à 1 : de tête pour de petits nombres, en éliminant n pour des expressions en n, ou en remontant l'algorithme d'Euclide. 2. Corollaire : si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec bc. En effet, en multipliant au + bv = 1 et au' + cw = 1, on obtient a(auu' + uwc + u'bv) + bc(vw) = 1. 4. Attention Les coefficients u et v ne sont pas uniques : 12 3 + 35 (-1) = 1 et 12 38 + 35 (-13) = 1. Et une égalité au + bv = k avec k 1 prouve seulement que PGCD(a, b) divise k.

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