Décomposition en facteurs premiers et plus grand commun diviseur (PGCD) de Seconde

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• 1 n'est pas un nombre premier ; 2 est le seul nombre premier pair. • Décomposition en facteurs premiers : méthode des divisions successives par 2, 3, 5, 7... • PGCD(a, b) = 1 a et b sont premiers entre eux.

Le cours

Nombres premiers et décomposition Un entier naturel p 2 est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...). Remarque : 1 n'est pas premier. Décomposition : tout entier n 2 s'écrit de manière unique (à l'ordre près) comme produit de nombres premiers : n = p_1^_1 p_2^_2 p_k^_k Exemple : 1260 = 2^2 3^2 5 7. Méthode : divisions successives On divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, 7, 11… On s'arrête quand le quotient vaut 1. Pour 1260 : 1260 630 315 105 35 7 1, en divisant successivement par 2, 2, 3, 3, 5 et 7. PGCD, PPCM et fractions irréductibles Le PGCD de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers présents, chacun avec le plus grand exposant. Exemple : 12 = 2^2 3 et 18 = 2 3^2 donnent PGCD(12, 18) = 2 3 = 6 et PPCM(12, 18) = 2^2 3^2 = 36. Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1. Diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD la rend irréductible. Attention Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs : 5 apparaît dans 1260 mais pas dans 396 = 2^2 3^2 11, il ne figure donc pas dans leur PGCD.

Dans ce chapitre