Théorème de Gauss, équations diophantiennes et Petit théorème de Fermat

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Gauss : a bc et PGCD(a ; b) = 1 a c. • Solutions de a'x + b'y = c' avec PGCD(a' ; b') = 1 : x = x_0 + kb', y = y_0 - ka', k Z. • Fermat : si p est premier et ne divise pas a, alors a^p-1 1 p.

Le cours

Théorème de Gauss Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. a bc et PGCD(a ; b) = 1 a c Résolution d'équations diophantiennes ax + by = c 1. Condition d'existence : l'équation admet des solutions entières ssi PGCD(a ; b) divise c. 2. Solution particulière : on trouve (x_0, y_0) tel que ax_0 + by_0 = c par Bézout. 3. Soustraction membre à membre : a(x - x_0) = b(y_0 - y). On simplifie par d = PGCD(a ; b) pour obtenir a'(x - x_0) = b'(y_0 - y) avec PGCD(a' ; b') = 1. 4. Théorème de Gauss : a' divise y_0 - y, ce qui donne y = y_0 - k a' et x = x_0 + k b' avec k Z. Petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier et a un entier relatif. • Forme générale : a^p a p. • Si p ne divise pas a (i.e. PGCD(a ; p) = 1), alors : a^p-1 1 p

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