Modèle de l'atmosphère isotherme et pression exponentielle

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Modèle isotherme : P(z) = P_0 e^-z/H (décroissance exponentielle avec l'altitude). • Hauteur caractéristique d'échelle : H = R T_0/M g 8,4 km. • Masse molaire de l'air : M_air 29 g/mol = 0,029 kg/mol. • Au sommet de l'Everest (8848 m H), la pression n'est plus que d'environ un tiers de la pression au niveau de la mer.

Le cours

La formule barométrique exponentielle des gaz compressibles Contrairement aux liquides, les gaz sont des fluides compressibles : leur masse volumique varie avec la pression et l'altitude. Dans le modèle de l'atmosphère isotherme (température absolue T_0 uniforme partout) : 1. D'après la loi des gaz parfaits : (z) = M\,P(z)/R\,T_0 où M est la masse molaire moyenne de l'air (M 29 g/mol = 0,029 kg/mol). 2. En injectant (z) dans la loi de la statique dP/dz = -\,g, on obtient l'équation différentielle : dP/dz = -M\,g/R\,T_0\,P(z) dP/dz + 1/H\,P(z) = 0 avec la hauteur d'échelle de l'atmosphère : H = R\,T_0/M\,g 8,4 km à 15 °C. 3. La solution s'écrit sous forme exponentielle décroissante : P(z) = P_0 e^-z/H = P_0 e^-M g z/R T_0 La pression atmosphérique est divisée par e 2,72 chaque fois que l'altitude augmente de 8,4 km. Pour aller plus loin Le modèle de l'atmosphère isotherme n'est pas exigible en Terminale : seule la relation fondamentale de la statique pour un fluide incompressible, P_B - P_A = g (z_A - z_B), est au programme. Il montre pourquoi cette relation ne s'applique pas telle quelle à l'air sur de grandes hauteurs : sur 100 m, la pression ne varie que d'environ 1,2\ \% et peut être prise constante ; sur plusieurs kilomètres, il faut tenir compte de la variation de avec P.

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