L'octave, la quinte et la construction de la gamme pythagoricienne

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Pythagore a construit sa gamme musicale à partir d'une corde vibrante en utilisant exclusivement deux consonances parfaites : - L'octave de rapport 2/1 = 2. - La quinte de rapport 3/2 = 1,5. • Principe de construction du cycle des quintes pythagoricien : 1. On part d'une note de référence de fréquence f_0. 2. On monte de quinte en quinte en multipliant successivement par 3/2. 3. Si la fréquence obtenue dépasse l'octave de référence (f 2 f_0), on la ramène dans l'intervalle fondamental [f_0, 2f_0[ en divisant par 2 (ou par une puissance de 2 adaptée). • Les premières quintes successives à partir d'un Do donnent : Sol (3/2), Ré (9/8), La (27/16), Mi (81/64), Si (243/128), etc.

Le cours

L'octave, la quinte et la construction de la gamme pythagoricienne Deux intervalles de départ. Selon la tradition attribuée à Pythagore, on construit une gamme avec seulement deux rapports : l'octave (2) et la quinte (3/2). Toutes les notes sont alors des fractions de la forme 3^p/2^q. Le cycle des quintes. On part d'une note de fréquence f_0 et l'on monte de quinte en quinte : f_0 3/2, puis f_0 (3/2)^2… Chaque fois qu'on dépasse 2f_0, on divise par 2 (on descend d'une octave) pour rester dans l'octave [f_0 ; 2f_0[. La gamme obtenue. Avec cinq quintes montantes depuis Do (Sol, Ré, La, Mi, Si) et une quinte descendante (Fa), on obtient les sept notes : Do 1 ; Ré 9/8 ; Mi 81/64 ; Fa 4/3 ; Sol 3/2 ; La 27/16 ; Si 243/128. Deux sortes d'écarts. Entre notes voisines, on trouve soit un ton de rapport 9/8 (Do-Ré, Ré-Mi, Fa-Sol, Sol-La, La-Si), soit un intervalle plus petit, le limma, de rapport 256/243 (Mi-Fa et Si-Do). Méthode : calculer une note pythagoricienne 1. Compte le nombre p de quintes depuis la note de départ. 2. Calcule (3/2)^p. 3. Divise par 2 autant de fois que nécessaire pour obtenir un rapport compris entre 1 et 2. Exemple : quatre quintes donnent (3/2)^4 = 81/16 5,06 ; on divise deux fois par 2 : 81/64 1,27, c'est le Mi. Attention Ramener dans l'octave ne change pas le nom de la note : diviser par 2 descend d'une octave, la note reste un Ré, un La… Il faut parfois diviser plusieurs fois, donc par 4 ou par 8.

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