La gamme tempérée à douze demi-tons égaux et ratio géométrique

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Pour surmonter l'impasse du comma pythagoricien et permettre de jouer dans toutes les tonalités, les musiciens et savants ont adopté la gamme au tempérament égal (décrite dès la fin du XVIe siècle, généralisée sur les instruments à clavier au XIXe siècle). • L'octave (rapport 2) est divisée en 12 intervalles rigoureusement identiques appelés demi-tons tempérés. • Les fréquences des notes successives forment une suite géométrique de raison r telle que : r^12 = 2 r = 2^1/12 = [12]2 1,059463 • La fréquence f_k de la note située k demi-tons au-dessus d'une note de référence f_0 est donnée par : f_k = f_0 r^k = f_0 2^k/12 • Dans cette gamme, la quinte tempérée (composée de 7 demi-tons) vaut : r^7 = 2^7/12 1,4983 Cette valeur est extrêmement proche de la quinte juste pythagoricienne (1,5000), l'écart étant quasi imperceptible à l'oreille.

Le cours

La gamme tempérée à douze demi-tons égaux et ratio géométrique Le principe. Le tempérament égal partage l'octave (rapport 2) en 12 demi-tons égaux. « Égaux » signifie de même rapport r : douze demi-tons successifs font une octave, donc r^12 = 2 et r = 2^1/12 1,0595. Une suite géométrique. Les fréquences des notes successives forment une suite géométrique de raison r : la note située k demi-tons au-dessus de f_0 a pour fréquence f_k = f_0 2^k/12 ; pour descendre de k demi-tons, on multiplie par 2^-k/12. Exemple : deux demi-tons au-dessus du La à 440\ Hz, 440 2^2/12 493,9\ Hz (Si). Le compromis. Aucun intervalle autre que l'octave n'est pur : la quinte tempérée vaut 2^7/12 1,4983 au lieu de 1,5, la tierce majeure 2^4/12 1,2599 au lieu de 1,25. En échange, douze quintes tempérées font exactement sept octaves (2^84/12 = 2^7) : le comma est réparti sur toutes les quintes et l'on peut jouer dans toutes les tonalités. Repère historique. Décrit dès la fin du XVIe siècle, le tempérament égal ne s'est imposé pour l'accord des instruments à clavier qu'au XIXe siècle. Méthode : utiliser 2^k/12 à la calculatrice 1. Compte les demi-tons k (positif pour monter, négatif pour descendre). 2. Tape 2^(k/12) en mettant l'exposant entre parenthèses. 3. Multiplie par la fréquence de départ. Exemple : trois demi-tons sous le La à 440\ Hz, 440 2^-3/12 370,0\ Hz (Fa dièse). Attention Sans parenthèses, la calculatrice calcule 2^7 / 12 10,7 au lieu de 2^7/12 1,498 : un rapport supérieur à 2 pour moins d'une octave doit t'alerter.

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