Le comma pythagoricien et les limites de la gamme de Pythagore

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• En réitérant 12 fois l'empilement des quintes de rapport 3/2, on s'attend mathématiquement à retrouver la note de départ après 7 octaves (2^7). • Or, il existe une incompatibilité arithmétique fondamentale entre les puissances de 3 et les puissances de 2 : (3/2)^12 = 3^122^12 = 531\,441/4\,096 129,746 alors que 2^7 = 128 • Le rapport entre ces deux grandeurs est appelé le comma pythagoricien : Comma = (3/2)^122^7 = 3^122^19 = 531\,441/524\,288 1,01364 • Ce comma représente un écart audible d'environ 23,46 cents (soit près d'un quart de demi-ton). • Conséquence majeure : le cycle des quintes ne se referme jamais. Pour fermer artificiellement la gamme, on devait attribuer à la dernière quinte un rapport raccourci d'environ 1,4798 au lieu de 1,5000, appelée « quinte du loup », excessivement dissonante.

Le cours

Le comma pythagoricien et les limites de la gamme de Pythagore Un cycle qui ne se referme pas. Douze quintes montantes passent par les douze notes de la gamme chromatique ; elles devraient ramener à la note de départ, sept octaves plus haut. Il faudrait pour cela (3/2)^12 = 2^7. Une impossibilité arithmétique. Cette égalité équivaudrait à 3^12 = 2^19 ; or 3^12 = 531\,441 est impair et 2^19 = 524\,288 est pair. Plus généralement, aucune puissance de 3 n'est égale à une puissance de 2 : aucun empilement de quintes pures ne retombe exactement sur un nombre entier d'octaves. Le comma pythagoricien. L'intervalle restant, de rapport 3^122^19 1,0136, est le comma pythagoricien : douze quintes dépassent sept octaves d'environ 1,4\ \% en fréquence, soit à peu près un quart de demi-ton. Les conséquences. Pour fermer une gamme de douze notes, on raccourcit une quinte d'un comma : cette « quinte du loup », de rapport 2^183^11 1,480, sonne faux. De plus, Sol dièse et La bémol ne tombent pas sur la même fréquence : ils diffèrent d'un comma. Méthode : comparer quintes et octaves Compare (3/2)^p et 2^q par leur quotient. Cinq quintes : (3/2)^5/2^3 0,949 ; sept quintes : (3/2)^7/2^4 1,068 ; douze quintes : (3/2)^122^7 1,014. Le quotient n'est jamais égal à 1, mais douze quintes en sont très proches : c'est pourquoi on a retenu douze notes. Attention Le comma ne vient ni d'une erreur de calcul ni d'un mauvais accordage : il est inévitable dès qu'on n'utilise que des quintes pures et des octaves.

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