Épreuve de Bernoulli et loi binomiale de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une épreuve de Bernoulli a deux issues incompatibles ; n épreuves indépendantes donnent X B(n\,;\,p). • P(X = k) = nk p^k (1-p)^n-k, donc P(X k) = 1 - _j=0^k-1 P(X=j). • E(X) = n p et (X) = n p (1-p) : la dispersion grandit comme n. • Simuler une binomiale, c'est lancer n épreuves et compter les succès. • Compter sur N essais fournit l'estimation f_N = s/N de la probabilité p.

Le cours

1. Deux issues, un paramètre Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire à deux issues incompatibles : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 - p. On répète n épreuves indépendantes et on note X le nombre de succès. La variable X suit la loi binomiale de paramètres (n\,;\,p), dont la probabilité d'obtenir exactement k succès vaut : P(X = k) = nk p^k (1-p)^\,n-k avec k = 0\,;\,1\,;\,\,;\,n Sa moyenne et son écart-type sont connus sans calcul : • E(X) = n p : c'est le nombre moyen de succès que l'on peut attendre. • V(X) = n p (1-p) et (X) = n\,p\,(1-p). • L'indépendance est indispensable : deux épreuves qui s'influencent ne donnent plus une loi binomiale. 2. Compter des succès, c'est déjà faire du Monte-Carlo L'objet central de toute simulation stochastique est un compteur de succès. On répète N fois la même épreuve, on compte les succès, puis on divise par N : le rapport obtenu est une estimation de p. Réciproquement, simuler une variable binomiale revient à simuler n épreuves de Bernoulli et à compter. C'est le pont entre le cours de probabilités et la méthode de Monte-Carlo. kP(X=k) pour n = 20 et p = 0,05Lecture 00,358486plus d'un tiers des lots sont parfaits 10,377354le cas le plus probable 20,188677le double de la moyenne 1,0 30,059582rare : environ un lot sur dix-sept 40,013328très rare : environ un lot sur soixante-quinze 3. Simuler une loi binomiale en quelques lignes from random import Random import math r = Random(11) n, p, N = 20, 0.05, 20000 lots = 0 for _ in range(N): succes = 0 for k in range(n): if r.random() < p: # une épreuve de Bernoulli succes += 1 if succes >= 2: lots += 1 print(lots / N) # 0.2603 print(sum(math.comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in range(2, n + 1))) # 0.26416 La simulation donne 0,2603 pour la probabilité qu'un lot de 20 contienne au moins deux non-conformes, la formule exacte donne 0,26416. Les deux valeurs sont compatibles : l'écart de 0,0039 correspond à 1,3 écart-type d'estimation. Même observation sur la moyenne : en simulant 100\,000 lots de 500 pièces avec p = 0,04, on obtient 19,99 non-conformes par lot, contre E(X) = 20 attendu. 4. Pièges • Écrire P(X = 2) quand l'énoncé demande « au moins deux » : il faut additionner tous les k 2, ou passer par le complémentaire 1 - P(X=0) - P(X=1). • Confondre la valeur la plus probable avec l'espérance : ici les deux valent 1, mais ce n'est pas général. Pour n = 10 et p = 0,25, E(X) = 2,5 n'est même pas une valeur possible de X, et la valeur la plus probable est 2 (probabilité 0,282, contre 0,250 pour 3). • Réinitialiser le générateur avec la même graine au début de chaque lot : les N lots deviennent identiques et la fréquence obtenue vaut 0 ou 1. On fixe la graine une seule fois, avant la boucle, comme dans le programme ci-dessus.

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