Nombre de simulations nécessaire pour une précision donnée

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• N 1,96^2\, p(1-p)^2, et dans le pire cas N 1,96^24\,^2. • N 2\,401 pour une précision de 2\ \%, 9\,604 pour 1\ \%. • Diviser l'incertitude par deux impose de quadrupler N. • Le pire cas est p = 0,5 ; connaître p divise souvent N par dix. • Pour une aire, la précision est relative : N A_R^2p(1-p)( A)^2.

Le cours

1. Partir d'une exigence, pas d'un chiffre On ne choisit pas N au hasard : on part de la précision exigée, notée \, et on inverse la relation d'incertitude. On veut que l'estimation soit à moins de \ de la vraie valeur dans 95\\ \% des cas : 1,96 \ \(1-p)/N \ \ \ \\\;N \ \1,96^2 \ p(1-p)\^2\; Comme on ne connaît généralement pas p au départ, on utilise le maximum de p(1-p), atteint pour p = 0,5 et égal à 0,25. On obtient alors une borne valable quel que soit le cas : N \ \1,96^24\\,\^2 \ \1\^2 2. Les effectifs à connaître dans le cas le plus défavorable Précision \ minimal (pire cas)Observation 5\\ \%385ordre de grandeur d'un sondage 2\\ \%2\\,401suffisant pour un contrôle de ligne 1\\ \%9\\,604campagne standard 0,5\\ \%38\\,416toujours instantané en calcul 0,1\\ \%240\\,100au-delà, le modèle domine Si p est connu ou estimé, la formule est beaucoup plus économe. Pour p = 0,04 : \ = 0,005 demande 5\\,901 simulations au lieu de 38\\,416, et \ = 0,002 en demande 36\\,880. La règle mnémotechnique est : pour diviser l'incertitude par deux, il faut quadrupler N. 3. Méthode : dimensionner en trois temps from math import ceil def N_requis(p, epsilon, z=1.96): return ceil(z * z * p * (1 - p) / epsilon ** 2) print(N_requis(0.5, 0.02)) # 2401 pire cas print(N_requis(0.04, 0.005)) # 5901 une fois p connu print(N_requis(0.5, 0.01) * 4) # 38416 précision divisée par deux 1. Premier passage : on dimensionne avec p = 0,5. C'est pessimiste, mais cela garantit la précision annoncée, quelle que soit l'issue de la première campagne. 2. Première campagne : on lance N simulations, ce qui donne une estimation f_N utilisable en attendant la suite. 3. Deuxième passage : on recalcule avec p = f_N. Si le nouveau N est nettement plus faible que le premier, on peut compléter la campagne au lieu de la recommencer. Une campagne de N simulations représente un coût machine de l'ordre de N \ 0,1\\ \\s, soit une seconde pour 10 millions de tirages : le calcul n'est jamais le facteur limitant, c'est la qualité du modèle qui l'est. 4. Pièges • Confondre précision absolue et précision relative : demander 0,2\\ \% de précision sur un taux de 4\\ \% signifie viser \ = 0,00008, soit 23 millions de simulations. Sur un taux de 4\\ \%, 0,2\\ \% veut presque toujours dire 0,2 point. • Remplacer p par f_N avant d'avoir la moindre estimation : c'est un raisonnement circulaire. On dimensionne d'abord avec 0,5, on mesure ensuite. • Croire que doubler N double la précision. Doubler N ne fait gagner qu'un facteur \2, soit 41\\ \% : pour un gain réel de précision, il faut quadrupler. • Appliquer la formule à une aire sans adapter : pour une aire, c'est la précision relative qui compte, d'où N \ \A_R^2p(1-p)(\ A)^2.

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