Loi uniforme sur un intervalle et espérance de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• X U[a\,;\,b] : la densité vaut 1/b-a, elle est constante, pas égale à 1. • P(c X d) = d-c/b-a : une probabilité est un rapport de longueurs. • E(X) = a+b/2 et (X) = b-a12. • X = a + (b-a) U avec U U[0\,;\,1] est le tirage uniforme sur [a\,;\,b]. • P(X = k) = 0 pour tout k : une valeur ponctuelle n'a aucune probabilité.

Le cours

1. Une loi bien plate Dire qu'une quantité X est uniforme sur l'intervalle [a\,;\,b] signifie qu'aucune valeur n'est favorisée : la densité de probabilité y est constante, égale à 1/b-a. Toute probabilité est donc une proportion de longueur : P(c X d) = d - c/b - a E(X) = a + b/2 (X) = b - a12 L'espérance est le milieu de l'intervalle et l'écart-type vaut 112 0,289 fois la largeur. Deux conséquences utiles : la probabilité d'un intervalle ne dépend que de sa largeur, et un point unique a une probabilité nulle. 2. L'image affine : le tirage uniforme Si U est uniforme sur [0\,;\,1], alors X = a + (b-a) U est uniforme sur [a\,;\,b]. C'est l'opération de base de toute simulation : on produit un nombre au hasard dans [0\,;\,1], puis on le transforme. X = a + (b - a) U et, dans l'autre sens, U = X - a/b - a from random import Random r = Random(2025) a, b = 119.85, 120.15 cotes = [a + (b - a) * r.random() for _ in range(5)] print(cotes) # [120.0173, 120.0438, 119.9933, 119.902, 119.8501] Remarque : la fonction random.uniform(a, b) calcule exactement a + (b - a) U ; selon les arrondis, la borne b peut être atteinte ou non. Pour une variable continue, cela n'a aucune importance : un point isolé a une probabilité nulle. 3. Méthode : trois gestes, puis une vérification 1. Identifier l'intervalle de la grandeur : les bornes viennent de la donnée physique (cote nominale et tolérance, durée minimale et maximale). 2. Calculer la probabilité comme un rapport de longueurs, en divisant par la largeur b - a et non par 1 (sauf si l'intervalle est de longueur 1). 3. Vérifier par simulation : la fréquence obtenue doit retrouver la valeur calculée, et la moyenne doit approcher (a+b)/2. Sur 20\,000 tirages avec la graine 2025, la moyenne obtenue vaut 119,9989\ mm pour un milieu théorique 120,0000\ mm, et l'écart-type vaut 0,0865\ mm pour un théorique de 0,0866\ mm : les deux indicateurs confirment le modèle. 4. Pièges • Dire qu'une loi uniforme donne la même probabilité à chaque valeur : c'est impossible, une variable continue a P(X = k) = 0 pour tout k. Ce qui est constant, c'est la densité. • Oublier la largeur dans la densité : sur [18\,;\,22] la densité vaut 1/4 = 0,25, et la probabilité d'une bande de 3,2 vaut 3,2 0,25 = 0,8. • Choisir la loi uniforme sans la justifier : elle suppose qu'aucune valeur de l'intervalle n'est favorisée (réglage borné par deux butées, instant d'arrivée au hasard dans une plage). Si les mesures se concentrent autour d'une valeur centrale, ce n'est plus un bon modèle.

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