Simulation d'une variable uniforme sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• X = a + (b-a) U avec U U[0\,;\,1[\!\!] simule une loi uniforme sur [a\,;\,b]. • À vérifier : E(X) = a+b/2 et (X) = b-a12. • P(c < X < d) = d-c/b-a se vérifie par simple comptage. • L'intervalle réel est [a\,;\,b[\!\!] : les bornes n'apparaissent jamais dans les tirages. • Une fréquence estimée à partir de N valeurs a pour demi-largeur à 95 % égale à 1,96f(1-f)/N.

Le cours

1. L'algorithme Simuler une variable uniforme sur [a\\,;\\,b] se fait en une seule ligne : on tire un nombre dans [0\\,;\\,1[, puis on l'étire et on le décale. On obtient ainsi une variable de moyenne +b/2 et d'écart-type \b-a\12, quelle que soit la graine choisie. X = a + (b - a) \ U, \ U \ \U[0\\,;\\,1[ from random import Random r = Random(2025) a, b = 119.85, 120.15 # cote nominale 120 mm, tolérance +-0.15 mm N = 20000 cotes = [a + (b - a) * r.random() for _ in range(N)] print([round(v, 4) for v in cotes[:5]]) # [120.0173, 120.0438, 119.9933, 119.902, 119.8501] L'écart à la borne supérieure se lit directement : la probabilité qu'une cote dépasse 120,10\\ \mm vaut \120,15 - 120,10120,15 - 119,85 = \1/6. C'est le seul calcul à faire pour contrôler la simulation. 2. Les quatre indicateurs à comparer IndicateurSimulé (N = 20\\,000)Théorique Moyenne119,9989\\ \mm120,0000\\ \mm Écart-type0,0865\\ \mm0,0866\\ \mm Minimum119,8500\\ \mma = 119,85\\ \mm Maximum120,1500\\ \mmb = 120,15\\ \mm P(X > 120,10)3\\,232 / 20\\,000 = 0,16160,1667 3. Méthode : quatre gestes, toujours les mêmes 1. Identifier a et b dans la donnée technique (nominal et tolérance, durée minimale et maximale). 2. Fixer la graine et l'effectif N, puis générer la liste en une boucle. 3. Comparer moyenne, écart-type, minimum et maximum aux valeurs théoriques : ils doivent concorder à mieux de 0,5\\ \% près. 4. Estimer la grandeur demandée par comptage, puis l'encadrer par \\\,1,96\\,\ avec \ = \f(1-f)/N. 4. Pièges • Se tromper dans le sens de la transformation : X = a + (b-a) \ U place bien les valeurs dans l'intervalle, tandis que X = a \ U + b les place hors de l'intervalle pour la plupart. • Comparer un écart simulé à la valeur théorique sans regarder la précision : avec N = 200 tirages, l'intervalle de fluctuation d'une fréquence vaut \\\,0,052, et un écart de 0,02 n'a alors aucun sens. Il faut N de l'ordre de 20\\,000. • Modéliser en uniforme une grandeur qui ne l'est pas : un temps de préparation ou un délai d'attente est plutôt exponentiel, une cote peut être supposée uniforme.

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