Intervalle de fluctuation d'un estimateur

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• L'intervalle de fluctuation à 95\ \% d'une fréquence est f_N 1,96f_N(1-f_N)/N. • Il contient la vraie valeur dans 95\ \% des exécutions, pas à chaque fois. • On l'obtient par la loi normale ou par les percentiles 2,5\ \% et 97,5\ \% de R lots indépendants. • Le minimum et le maximum de R lots donnent 0,5\ \% et 99,5\ \%, pas 2,5\ \% et 97,5\ \%. • Diviser N par quatre divise la demi-largeur par deux.

Le cours

1. Ce qu'un intervalle de fluctuation promet Un estimateur est aléatoire : une valeur isolée ne prouve rien. L'intervalle de fluctuation est un intervalle aléatoire aussi, construit autour de l'estimation, qui contient la vraie valeur avec une probabilité élevée. Pour une fréquence f_N estimant p, l'écart-type de l'estimateur est \ = \f_N(1-f_N)/N, et l'intervalle de fluctuation à 95\\ \% s'écrit : I_95 = \[ f_N - 1,96\\,\ \\;;\\; f_N + 1,96\\,\ \] \ \ = \_N (1 - f_N)/N La formulation correcte se lit ainsi : si l'on répète la même simulation cent fois, dans environ 95 cas sur 100 l'intervalle contiendra la vraie valeur. Il ne s'agit pas d'une plage de valeurs possibles de la grandeur, mais d'une marge d'erreur sur le paramètre estimé. 2. Deux façons de l'obtenir Par la théorie : f_N suit approximativement une loi normale centrée sur p d'écart-type \p(1-p)/N. On lit alors l'intervalle dans la table de la loi normale, ou on utilise \ 1,96\\,\. Par l'expérience : on répète R simulations indépendantes de N tirages chacune, on range les R estimations et on lit les percentiles 2,5\\ \% et 97,5\\ \%. C'est la méthode la plus fidèle, car elle ne suppose rien sur la loi. Sur R = 200 lots de N = 5000 tirages avec p = 0,04, l'enveloppe expérimentale des 200 estimations va de 0,0330 à 0,0498, les percentiles 2,5\\ \% et 97,5\\ \% valent 0,0344 et 0,0458, contre 0,0346 et 0,0454 par la théorie : les deux méthodes concordent à 0,0002 près. probabilité enveloppe des 200 lots : 0,0330 à 0,0498 intervalle à 95 % : 0,0346 à 0,0454 vraie valeur p = 0,0400 f = 0,0352 0,0300,0350,0400,0450,050 L'intervalle contient p ; l'enveloppe contient presque toutes les simulations. Sur la figure, l'estimation d'un lot vaut f = 0,0352 : son intervalle à 95\\ \% est [0,0301\\,;\\,0,0403], et la vraie valeur p = 0,0400 s'y trouve, très près du bord supérieur. 3. Méthode : l'encadrement en quatre gestes 1. Calculer l'estimation f_N et la garder en mémoire. 2. En déduire l'écart-type \ = \f_N(1-f_N)/N, avec l'estimation et non la valeur supposée. 3. Choisir le niveau de confiance : 68\\ \% pour \\\,\, 95\\ \% pour \\\,1,96\\,\, 99,7\\ \% pour \\\,3\\,\. 4. Recommencer avec une autre graine : si les deux intervalles se recouvrent, on peut annoncer une plage plus prudente, obtenue par l'intersection des deux. 4. Pièges • Prendre le minimum et le maximum de R lots pour l'intervalle à 95\\ \% : ici cela donnerait [0,0330\\,;\\,0,0498], deux fois et demie plus large que l'intervalle théorique. Le minimum et le maximum d'un échantillon de 200 lots correspondent à environ 0,5\\ \% et 99,5\\ \%. • Utiliser l'écart-type de la grandeur simulée au lieu de celui de l'estimateur : la marge est alors trop large d'un facteur \N. • Oublier que l'intervalle dépend de N : le mêmeestimateur donne une marge quatre fois plus petite avec quatre fois plus de simulations.

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