Estimation d'une probabilité par fréquence sur N simulations

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• p = s/N est un estimateur non biaisé de p : E(p) = p. • (p) = p(1-p)/N 12N : c'est le pire cas, atteint pour p = 0,5. • Doubler N ne réduit l'incertitude que d'un facteur 2. • L'estimation ne se juge qu'accompagnée de son intervalle de fluctuation. • L'événement se simule par la condition `r.random() < p`.

Le cours

1. L'estimateur et sa précision Soit E un événement de probabilité p incon nue. On répète N épreuves indépendantes, on compte le nombre s de issues favorables et on pose : \p = f_N = /N \ E(f_N) = p \ \(f_N) = \(1-p)/N L'estimateur n'est pas biaisé : sa moyenne est exactement p. Mais il est aléatoire : chaque exécution donne une valeur différente. La loi des grands nombres précise que f_N se rapproche de p quand N augmente. Pour N fixé, l'incertitude est governed par l'écart-type ci-dessus, qui décroît comme \1\N. 2. Chiffres à connaître par cœur N\ pour p = 0,5p \ 2\ pour p = 0,5\ pour p = 0,04 100,1581[0,184\\,;\\,0,816]0,0620 1000,0500[0,400\\,;\\,0,600]0,0196 10000,0158[0,468\\,;\\,0,532]0,0062 50000,0071[0,486\\,;\\,0,514]0,0028 100\\,0000,0016[0,497\\,;\\,0,503]0,0006 La colonne de droite montre que les petites probabilités sont beaucoup mieux estimées que les probabilités voisines de 0,5, pour le même effectif. 3. Méthode : la boucle en cinq lignes from random import Random def frequence(N, p, graine): r = Random(graine) succes = 0 for _ in range(N): if r.random() < p: # l&#x27;événement réalisé a-t-il eu lieu ? succes += 1 return succes / N print(frequence(5000, 0.04, 7)) # 0.0408 La condition r.random() < p réalise l'événement avec probabilité p : c'est le cœur de toute simulation de probabilité. Le compteur s divisé par N donne l'estimateur. On note dans le rapport la graine, N, p supposé et l'intervalle obtenu. 4. Pièges • Faire N essais et appeler cela « une expérience répétée N fois » : avec N = 100, la fréquence obtenue peut valoir 0,41 ou 0,60 pour une probabilité réelle de 0,5. Le nombre d'essais, et non le nombre de « lots », fixe la précision. • Remplacer p par f_N dans la formule de l'écart-type sans le dire : c'est licite et même nécessaire, mais l'estimation obtenue est alors légèrement optimiste. On note la valeur approchée f_N dans le rapport. • Arrêter la simulation dès que le résultat « colle » à la valeur attendue, ou changer de graine jusqu'à trouver un accord : c'est un biais de sélection. Le nombre de simulations se choisit avant de lancer le programme.

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