Interprétation d'un histogramme issu d'une simulation

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Un histogramme donne la forme de la loi, jamais l'ordre des tirages. • Comparer les densités n_cN largeur dès que les classes sont de largeurs différentes. • Une décroissance régulière signale une loi dissymétrique, donc une moyenne supérieure à la médiane. • Mode et moyenne ne coïncident que si la loi est symétrique. • Sur 100\,000 valeurs en 10 classes, l'écart entre classes peut atteindre 3\ \% sans anomalie.

Le cours

1. Ce que l'histogramme dit, et ce qu'il ne dit pas Un histogramme répartit les valeurs simulées en classes de largeur choisie et compte les valeurs de chaque classe. Il montre la forme de la loi : plate, décroissante, symétrique autour d'un mode. Il ne dit rien de l'ordre des tirages : deux simulations peuvent produire exactement le même histogramme avec des générateurs totalement différents. C'est la raison pour laquelle on l'accompagne de la moyenne et de l'écart-type. • Effectif d'une classe, puis fréquence n_c / N, puis densité \n_c / N\ largeur de la classe. • Quand les classes n'ont pas la même largeur, ce sont les densités qui sont comparables, jamais les effectifs ni les hauteurs. • Choix des classes : 10 à 20 classes, de largeur égale, avec N assez grand pour que chaque classe contienne au moins une centaine de valeurs. 2. Trois histogrammes, trois formes attendue effectifs temps de cycle (s) 482 0-10 238 10-20 116 20-30 62 30-40 32 40-50 10 50-60 11 60-70 6 70-80 1 80-90 2 90-100 moyenne 14,5 s 960 temps de cycle classes de 10 s : la décroissance est regularite, sans trou ni pic isole. SimulationEffectifs des premières classesForme attendue Cotes sur [0\\,;\\,1], N = 100\\,00010\\,099\\,;\\,10\\,020\\,;\\,9\\,975\\,;\\,10\\,086\\,;\\,9\\,961plate, à 10\\,000 par classe Temps de cycle, classes de 10\\ \s482\\,;\\,238\\,;\\,116\\,;\\,62\\,;\\,32décroissante, dissymétrique à droite Préparation exponentielle de moyenne 12\\ \s39\\,542\\,;\\,23\\,520\\,;\\,14\\,581\\,;\\,8\\,736décroissance rapide, longue queue L'histogramme des temps de cycle présente une décroissance régulière : 50,2\\ \% des pièces ont un cycle inférieur à 10\\ \s, 24,8\\ \% entre 10 et 20\\ \s, et les queues sont très courtes. Cette forme est celle d'une somme de deux petite durées aléatoires, non celle d'une loi normale centrée. 3. Méthode : les cinq lectures à faire 1. Forme : la comparer à la loi théorique attendue (plate, exponentielle, gaussienne). 2. Moyenne : la lire par le centre de gravité des barres et la comparer à la valeur théorique. Ici 14,46\\ \s, à comparer aux 12\\ \s de préparation. 3. Dissymétrie : une longue queue d'un seul côté indique une loi exponentielle ou gamma ; une queue des deux côtés indique une loi normale. 4. Mode : classe la plus haute, qui n'est pas la moyenne dès que la loi est dissymétrique. 5. Régularité : un trou dans les effectifs, un décrochement ou un pic isolé signalent un modèle à revoir, pas un hasard de tirage. 4. Pièges • Comparer des hauteurs de barres lorsque les classes n'ont pas la même largeur : la classe [42\\,;\\,60) contient moins de pièces que [0\\,;\\,6), mais sa densité est 50 fois plus faible. Sans le rapport par la largeur, la lecture est fausse. • Plaçer une frontière exactement sur une valeur : il faut décider si une valeur égale à une frontière appartient à la classe de gauche ou à celle de droite, sinon deux executions du même programme donnent des histogrammes différents. • Déclarer la simulation fausse parce que l'histogramme n'est ni parfaitement rectangle ni parfaitement gaussien : un effectif fini donne toujours des barres inégales. Sur 10\\,000 valeurs en 10 classes, l'écart maximal attendu entre deux classes est de l'ordre de 3\\ \%. • Confondre le mode et la moyenne : sur une loi dissymétrique, la classe la plus haute n'est pas celle qui contient le milieu de la distribution.

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