Convergence et vérification d'un résultat simulé

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• On vérifie la convergence avec l'estimation cumulée f_N, jamais avec un tirage isolé. • L'écart à la référence doit décroître comme 1N et rester sous 2\,. • Test de couverture : sur R campagnes, environ 95\ \% des intervalles à 1,96\, doivent contenir p. • Une couverture de 100\ \% signale un intervalle trop large, de 50\ \% un intervalle trop étroit. • Quatre contrôles : stabilisation, comparaison indépendante, couverture, seconde graine.

Le cours

1. Suivre la convergence La convergence ne se constate pas en comparant deux simulations, mais en observant l'estimation cumulée au fil du temps : f_n = s_n/n. On trace f_n en fonction de n et l'on regarde si la courbe se stabilise autour de la valeur attendue, à une distance compatible avec \(f_n) = \p(1-p)/n. Nsf_NÉcart |f_N - p|En écart-types 1000,00000,04000,6 10040,04000,00000,0 1000430,04300,00300,5 10\\,0003860,03860,00140,7 200\\,00079070,039540,000471,1 La colonne décisive est la dernière : tant que l'écart reste inférieur à deux écart-types, la simulation est normale. Le cas N = 10, où aucun succès n'apparaît et où l'on pourrait conclure « le taux est nul », montre qu'il faut atteindre N \ 100 avant de parler. 2. Tester l'intervalle lui-même Un intervalle de fluctuation peut être trop large ou trop étroit sans qu'on s'en aperçoive. Le test de couverture le révèle : on répète R campagnes indépendantes, et l'on compte combien d'intervalles contiennent la vraie valeur p. En théorie, 95 intervalles sur 100 doivent la contenir. Réalisé avec p = 0,04 et N = 2000 : • 194 intervalles sur 200 contiennent p pour une demi-largeur de 1,96\\,\, soit 97\\ \% : conforme à 95\\ \% attendu. • 140 intervalles sur 200 contiennent p pour une demi-largeur de \, soit 70\\ \% : conforme à 68\\ \% attendu. • Une couverture de 100\\ \% signifierait un intervalle inutilement large ; une couverture de 50\\ \% révélerait que la demi-largeur announcements est trop faible. 3. Méthode : le protocole de vérification en quatre points 1. Stabilisation : tracer f_N en fonction de N et vérifier que l'écart à la référence décroît comme \1\N. 2. Comparaison indépendante : confronted l'estimation à un calcul analytique ou à une série de mesures réelles. 3. Test de couverture : sur R campagnes, vérifier que l'intervalle contient bien p dans la proportion attendue. 4. Deuxième graine : refaire la campagne avec une autre graine et vérifier que les deux intervalles se recouvrent. Si l'un des quatre points échoue, on ne cherche pas une meilleure estimation : on revient au modèle et au générateur, qui sont alors les seuls coupables. 4. Pièges • Conclure que le modèle est faux parce qu'une estimation sort de l'intervalle à 95\\ \% : cela arrive une fois sur vingt avec un modèle parfaitement correct. Il faut au moins plusieurs campagnes pour conclure. • Prendre l'annulation d'un écart à 95\\ \% comme une preuve : cela signifie qu'il reste 5\\ \% de chances que l'erreur soit plus grande que prévu. • Vérifier la convergence avec deux simulations de N différents et non avec l'estimation cumulée : c'est la cumulée qui converge, pas un tirage isolé. • Oublier de tester l'indépendance du générateur : une suite fortement corrélée converge en apparence très vite, et l'intervalle calculé à partir de \p(1-p)/N est alors faux.

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