Calcul d'une moyenne et d'un écart-type de classe de 3e

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• x = 1/n x_i et s = 1/n (x_i - x)^2 : l'écart-type s'exprime dans l'unité des mesures. • La moyenne estime l'espérance de la grandeur simulée, s sa dispersion. • L'incertitude sur la moyenne vaut sN, et non s. • La règle des 68\ \% autour de la moyenne n'est vraie que si la loi est normale. • Étendue, médiane et quartile complètent la lecture d'une série.

Le cours

1. Deux indicateurs complémentaires La moyenne d'une série de n valeurs situe son centre de gravité ; l'écart-type mesure sa dispersion autour de ce centre. Pour une série de mesures (donc une population d'effectif n), on utilise la formule avec n au dénominateur : \x = _1 + x_2 + \ + x_n/n \ s = \\1/n\_i=1^n\(x_i - \x\)^2 L'écart-type est une longueur dans la même unité que les mesures : il n'est pas un pourcentage et ne se compare jamais à une moyenne exprimée dans une autre unité. 2. Exemple : dix cotes relevées sur une pièce IndicateurValeurLecture Cote nominale12,00\\ \mmcote de la définition Moyenne12,037\\ \mmdécalage de +0,037\\ \mm, non nul Écart-type0,0766\\ \mmdispersion faible devant le décalage Étendue0,25\\ \mm11,90 à 12,15\\ \mm La moyenne indique une dérive du procédé, l'écart-type indique sa précision : deux informations différentes, à traiter séparément. 3. Le rôle de ces deux nombres dans une simulation Une simulation produit N valeurs : il faut les résumer. La moyenne simulée estime l'espérance de la grandeur, l'écart-type simulé estime sa dispersion. Attention toutefois : ces deux estimations sont elles-mêmes aléatoires, et l'incertitude porte sur la moyenne, pas sur une valeur isolée. • Sur 20\,000 cotes tirées uniformément dans [119,85\\ \mm\\,;\\,120,15\\ \mm], on obtient \x = 119,9989\\ \mm et s = 0,0865\\ \mm. • La bande \x \ s vaut [119,9124\\ \mm\\,;\\,120,0854\\ \mm] et contient 11\\,525 valeurs, soit 57,6\\ \% et non 68\\ \% : la règle des 68\\ \% n'est vraie que pour une loi normale. • L'incertitude sur la moyenne vaut \s\N, soit ici 0,0006\\ \mm : la moyenne est bien mieux déterminée qu'une cote prise au hasard. 4. Pièges • Utiliser n - 1 au dénominateur hors du cadre de l'estimateur statistique : pour une série de mesures décrite entièrement, c'est n. L'écart-type passe alors de 0,0766\\ \mm à 0,0807\\ \mm, soit 5\\ \% de plus. • Confondre l'écart-type de la série et celui de sa moyenne : le second vaut s / \N. C'est lui qui sert à comparer deux simulations. • Lire une moyenne comme si elle était la valeur la plus fréquente : sur une série asymétrique, la médiane peut être très inférieure à la moyenne, comme pour un temps d'attente.

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