Méthode de Monte-Carlo pour le calcul d'une aire

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• A A_R k/N : l'aire est la fréquence des points * A_R, jamais la fréquence seule. • _A = A_Rp(1-p)/N : même formule d'écart-type qu'une probabilité. • Le rectangle doit enserrer la région : trop grand, il divise la précision par 2. • A A_R2N donne l'ordre de grandeur de la précision. • On encadre par A 1,96\,_A avant d'annoncer un résultat.

Le cours

1. Le principe : compter des points On cherche l'aire A d'une région du plan D, obtenue par exemple sous une courbe ou dans un profilé. On l'inscrit dans un rectangle R dont l'aire A_R à la forme simple, on jette au hasard N points dans R, et on compte ceux qui tombent dans D, notés k. Alors : A \ A_R \ /N \ \_A = A_R \(1-p)/N \ \avec p = /A_R La fraction des points dans D estime la fraction d'aire : c'est la même logique que la fréquence, appliquée à une surface. La précision se lit donc avec la même formule, l'écart-type de l'aire étant A_R fois celui d'une fréquence. 2. L'algorithme et trois résultats from random import Random def aire_monte_carlo(N, xmin, xmax, ymin, ymax, dans): r = Random(3) k = 0 for _ in range(N): x = xmin + (xmax - xmin) * r.random() y = ymin + (ymax - ymin) * r.random() if dans(x, y): k += 1 A_R = (xmax - xmin) * (ymax - ymin) return k, A_R * k / N print(aire_monte_carlo(200000, 0, 1, 0, 1, lambda x, y: y <= x * x)) # (66605, 0.333025) soit 1/3 = 0.333333 RégionA_RAire estiméeAire exacte Sous y = x^2 sur [0\\,;\\,1]10,333025\1/3 = 0,333333 Quart de disque R = 397,06297\9\/4 = 7,06858 Quart d'anneau R = 8, r = 46437,5929612\ = 37,69911 3. Méthode : quatre règles, dans cet ordre 1. Choisir un rectangle ajusté : il doit contenir toute la région et le moins de vide possible. Un rectangle deux fois trop grand divise la précision par \2 pour un même N. 2. Écrire le test d'appartenance sous forme d'inégalité : y \ x^2 pour une aire sous une courbe, r^2 \ x^2 + y^2 \ R^2 pour un anneau. 3. Choisir N pour que la demi-largeur \_A soit bien inférieure à la précision attendue, en partant de \_A \ \A_R2\N. 4. Vérifier : le point le plus éloigné du bord doit être à plus de 2\_A, et le résultat doit être encadré par A \ 1,96\\,\_A. 4. Pièges • Confondre la fréquence k/N et l'aire : dans un carré de côté 3, le quart de disque de rayon 3 occupe 0,785 du carré, ce qui donne une aire de 7,06 et non 0,785. Il faut toujours multiplier par A_R. • Prendre un rectangle qui contient la région et beaucoup de vide : la proportion de points utiles baisse, et l'erreur augmente alors que N est inchangé. • Compter les points situés sur la frontière comme étant à l'intérieur ou à l'extérieur sans le dire : l'écart possible est de l'ordre du nombre de points sur le bord, négligeable si N est grand, mais il faut trancher la convention. • Croire que 1000 points suffisent pour 0,1\\ \% de précision : il faudrait environ 2,5 \ 10^5 points dans un carré, et dix fois plus si le rectangle est mal choisi.

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