Extrémum d'une parabole et optimisation d'une grandeur scientifique

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Sommet de la parabole de f(x) = ax^2 + bx + c : S( \,;\, ) avec = -b/2a et = f(). • Si a > 0, f admet un minimum égal à , atteint en x = ; si a < 0, un maximum égal à , atteint en x = . • Optimiser : exprimer la grandeur comme un trinôme d'une seule variable, vérifier que appartient à l'intervalle d'étude, puis calculer . • Sur un intervalle fermé qui ne contient pas , f est monotone : l'extremum est atteint à une borne.

Le cours

Extrémum d'une parabole et optimisation d'une grandeur scientifique • La courbe d'une fonction trinôme f(x) = a x^2 + b x + c (a 0) est une parabole. Son sommet S( \,;\, ) est le point où f change de sens de variation : = -b/2a et = f() • Nature de l'extremum : - Si a > 0 : parabole tournée vers le haut, f décroissante puis croissante. f admet un minimum égal à , atteint en x = . - Si a maximum égal à , atteint en x = . • Grandeurs scientifiques modélisées par un trinôme : hauteur d'un projectile en fonction du temps, puissance électrique délivrée par une pile P = EI - rI^2, aire d'un enclos de périmètre fixé, bénéfice d'une production. Méthode d'optimisation en quatre étapes 1. Choisir la variable x et préciser l'intervalle de ses valeurs possibles (une longueur, une durée, une intensité sont positives). 2. Exprimer la grandeur à optimiser comme un trinôme de la seule variable x. 3. Calculer = -b/2a et vérifier qu'il appartient à l'intervalle ; sinon, sur un intervalle fermé, l'extremum est atteint à une borne. 4. Calculer = f() et répondre avec unités : valeur de la variable qui optimise et valeur optimale. Mini-exemple : une balle lancée verticalement a pour hauteur h(t) = -5t^2 + 10t + 1 (en m). Alors = -10/2 (-5) = 1 s et h(1) = 6 m : hauteur maximale 6 m, atteinte au bout de 1 s. Astuce et méthode clé Dans un problème d'optimisation, écris la grandeur à maximiser sous la forme d'une fonction d'une seule variable x, puis calcule immédiatement = -b/2a. Piège classique à éviter Ne confonds pas la valeur de la variable qui optimise (x = ) et la valeur optimale atteinte par la fonction (y = ).

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