Prouver une propriété générale avec des lettres, réfuter par un contre-exemple — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une propriété générale est fausse. • Vérifier une formule sur quelques exemples numériques ne prouve pas qu'elle est toujours vraie. • Pour prouver qu'une propriété est universelle, on utilise une lettre désignant un nombre quelconque et on effectue un calcul littéral.

Le cours

1. Réfuter une affirmation générale par un contre-exemple En mathématiques, une affirmation portant sur « tous les nombres » est fausse dès qu'elle est mise en défaut pour au moins une valeur particulière. Trouver cette valeur s'appelle donner un contre-exemple. Un seul contre-exemple suffit pour réfuter définitivement une conjecture ou une proposition fausse. Affirmation : « Le carré d'un nombre est toujours supérieur ou égal à ce nombre. » Contre-exemple : pour x = 0,5, on a x^2 = 0,5 0,5 = 0,25. Comme 0,25 Tester plusieurs exemples qui fonctionnent ne suffit jamais à prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres. Les exemples permettent d'émettre une hypothèse, mais seul le calcul littéral permet de la prouver. 2. Démontrer une propriété générale grâce au calcul littéral Pour prouver qu'une propriété est toujours vraie, quel que soit le nombre choisi, on utilise une lettre (souvent n ou x) pour représenter un nombre quelconque. Le calcul littéral permet d'établir une égalité universelle : Un entier pair s'écrit sous la forme 2k (où k est un entier). Un entier impair s'écrit sous la forme 2k + 1. Somme de deux nombres consécutifs : n + (n + 1) = 2n + 1. Comme 2n est pair, 2n + 1 est impair : la somme de deux entiers consécutifs est donc toujours impaire. Cette preuve est indiscutable car elle est valable pour toute valeur entière de n. 3. Erreur fréquente de raisonnement Confondre exemple et démonstration : tester une formule sur trois ou quatre nombres (par exemple pour n = 1, n = 2 et n = 3) ne constitue pas une démonstration mathématique. En revanche, pour démontrer qu'une égalité est fausse, un unique contre-exemple bien justifié est parfaitement rigoureux et suffisant.

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