Décomposition en produit de facteurs premiers de Collège

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• n = p_1^_1 p_2^_2 p_k^_k avec p_i premiers distincts et _i N^*. • **Nombre de diviseurs positifs** de n : N = (_1 + 1)(_2 + 1) (_k + 1). • **PGCD** : produit des facteurs premiers communs munis du **plus petit exposant**. • **PPCM** : produit de tous les facteurs premiers munis du **plus grand exposant**.

Le cours

1. Nombres premiers Un entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 1 n'est pas premier (un seul diviseur) et 2 est le seul nombre premier pair. Un entier qui n'est pas premier, comme 91 = 7 13, se dit composé. 2. Décomposition en facteurs premiers Tout entier n 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près : n = p_1^_1 p_2^_2 p_k^_k Par exemple 84 = 2^2 3 7 et 90 = 2 3^2 5. 3. Méthode des divisions successives 1. Diviser par 2 tant que c'est possible, puis par 3, par 5, par 7, etc. (nombres premiers dans l'ordre). 2. S'arrêter quand le quotient restant vaut 1, ou quand le carré du nombre premier testé dépasse ce quotient : celui-ci est alors premier. 3. Regrouper les facteurs égaux sous forme de puissances et vérifier en remultipliant. 4. À quoi sert la décomposition ? Diviseurs : un diviseur positif de n s'écrit p_1^_1 p_k^_k avec 0 _i _i. On a _i + 1 choix pour chaque exposant, d'où (_1 + 1) (_k + 1) diviseurs. Fractions irréductibles : 84/90 = 2^2 3 7/2 3^2 5 = 2 7/3 5 = 14/15. PGCD et PPCM : on compare les exposants de chaque facteur premier (plus petit pour le PGCD, plus grand pour le PPCM).

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