Tableaux de congruence pour l'étude de divisibilité de polynômes entiers

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Tout entier n vérifie n r m avec r \0, 1, , m - 1\. • Le tableau de congruence liste en colonnes les m restes possibles, calcule pas à pas chaque monôme, puis conclut sur P(n) m. • Si la dernière ligne ne contient que des 0, alors m divise P(n) pour tout entier n. • Si la dernière ligne ne contient aucun 0, alors m ne divise P(n) pour aucun entier n.

Le cours

1. Principe Pour étudier le reste d'une expression entière P(n) (par exemple n^2 + n + 1) dans la division par un petit entier m, on utilise que tout entier n est congru modulo m à exactement l'un des restes 0, 1, , m - 1. Par compatibilité des congruences avec l'addition, la multiplication et les puissances, le reste de P(n) ne dépend que du reste de n : m cas suffisent pour connaître P(n) modulo m pour tous les entiers relatifs n. 2. Méthode : construire le tableau 1. Première ligne : les restes possibles de n modulo m. 2. Une ligne par morceau de l'expression (n^2, 2n…), réduite modulo m à chaque fois. 3. Dernière ligne : P(n) modulo m. Conclure colonne par colonne : m P(n) n est dans une colonne où l'on lit 0. Mini-exemple modulo 5 : n 0, 1, 2, 3, 4 donne n^2 0, 1, 4, 4, 1. Un carré n'est donc jamais congru à 2 modulo 5 : n^2 - 2 n'est jamais divisible par 5. 3. Attention à la conclusion Si la dernière ligne contient des 0 dans certaines colonnes seulement, la réponse dépend de n : on donne les classes concernées (par exemple « P(n) est divisible par 5 si et seulement si n 1 ou n 4 5 »), et non une réponse globale.

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