Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Division euclidienne de a Z par b N^* : a = bq + r avec 0 r < b ; le reste est toujours positif ou nul. • Si a b et a c, alors a (ub + vc) pour tous u, v Z. • Transitivité : si a b et b c, alors a c. • PGCD : dernier reste non nul de l'algorithme d'Euclide.

Le cours

📌 Propriétés Fondamentales de la Divisibilité dans Z Soit a, b, c Z. Transitivité : Si a b et b c, alors a c. Combinaison linéaire : Si a b et a c, alors pour tous entiers relatifs u et v : a (u b + v c) Divisibilité mutuelle : Si a b et b a, alors a = b ou a = -b (c'est-à-dire |a| = |b|). Théorème de la Division Euclidienne dans Z Soit a Z (dividende) et b N^* (diviseur). Il existe un unique couple d'entiers (q, r) Z N tel que : a = b q + r avec 0 r q est le quotient et r est le reste. La condition 0 r toujours positif ou nul ! Algorithme d'Euclide pour le PGCD Si a = bq + r, alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r). L'algorithme d'Euclide consiste à effectuer des divisions euclidiennes successives : le PGCD de a et b est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes. ⚠️ Piège Fréquent : Division d'un Entier Négatif Pour diviser -23 par 5 : l'écriture -23 = 5 (-4) - 3 est fausse car le reste serait négatif (-3 < 0) ! L'écriture exacte est : -23 = 5 (-5) + 2 avec 0 2 < 5. Le quotient est -5 et le reste est +2.

Dans ce chapitre