Compatibilité des congruences avec l'addition, multiplication et puissances

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a b n n (a - b) a et b ont le même reste modulo n. • **Compatibilité** : a b a + c b + c, ac bc, a^k b^k n • **Astuce du reste négatif** : a -1 n a n - 1 n. Alors a^k (-1)^k n (vaut +1 si k est pair, -1 si k est impair).

Le cours

1. Définition Soit n N^*. Deux entiers a et b sont congrus modulo n, noté a b n, si n divise a - b. Cela équivaut à : a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Exemples : 38 3 7 car 38 - 3 = 35 = 7 5 ; -1 6 7. 2. Compatibilité avec les opérations Si a b n et c d n, alors : a + c b + d n et a - c b - d n ; ac bd n ; a^k b^k n pour tout entier naturel k (multiplication répétée k fois). Preuve pour le produit : ac - bd = a(c - d) + d(a - b), somme de deux multiples de n. 3. Méthode : réduire avant de calculer 1. Remplacer chaque nombre par un petit représentant (son reste, ou un reste négatif comme -1). 2. Effectuer l'opération sur ces représentants. 3. Exemple : 38 45 7. On a 38 3 et 45 3, donc 38 45 9 2 7. Contrôle : 38 45 = 1\,710 = 7 244 + 2. 4. Attention : pas de division On ne simplifie pas une congruence comme une égalité : 4 3 4 1 8 (car 12 - 4 = 8), mais 3 1 8.

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