Critères de divisibilité démontrés par les congruences (par 3, 9, 11)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• 10 1 9 N _i=0^k a_i 9. • 10 1 3 N _i=0^k a_i 3. • 10 -1 11 N a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + 11. • Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est (car 100 0 4).

Le cours

L'écriture décimale d'un entier naturel s'exprime sous la forme polynomiale en base 10 : N = a_k a_k-1 a_1 a_0 = a_k 10^k + a_k-1 10^k-1 + + a_1 10 + a_0 L'arithmétique modulaire permet de démontrer rigoureusement tous les critères de divisibilité enseignés au collège : Comme 10 1 9 et 10 1 3, alors 10^m 1 9. D'où N a_i 9 : un nombre est divisible par 3 (ou 9) si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. Comme 10 -1 11, alors 10^m (-1)^m 11. D'où N a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + 11 : un nombre est divisible par 11 si et seulement si sa somme alternée des chiffres l'est.

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