Applications de l'arithmétique modulaire : clés de contrôle (RIB, ISBN, NIR)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **NIR** : clé K sur 2 chiffres calculée modulo 97 : K = 97 - (N 97) • **Clé RIB** : calculée modulo 97 à partir des codes banque, guichet et compte. • **ISBN-13** : somme pondérée par 1 et 3 en alternance, clé modulo 10 : c -_i=1^12 w_i x_i 10 avec w_i \1, 3\ • Toute erreur sur un seul chiffre est détectée ; une inversion de deux chiffres voisins aussi, sauf en ISBN-13 lorsque les chiffres diffèrent de 5.

Le cours

1. Principe d'une clé de contrôle Une clé de contrôle est un nombre ajouté à un identifiant (numéro de sécurité sociale, RIB, ISBN) et calculé à partir de ses chiffres par une formule modulaire. À la saisie, l'ordinateur recalcule la clé : si elle ne correspond pas, une erreur de frappe est signalée. 2. Trois exemples réels NIR (numéro de sécurité sociale, 13 chiffres N) : clé K = 97 - r, où r est le reste de N modulo 97. Ainsi N + K 0 97. Clé RIB : deux chiffres, également calculés modulo 97 à partir des codes banque, guichet et du numéro de compte. ISBN-13 : on pondère les 12 premiers chiffres alternativement par 1 et 3 ; la clé c est le chiffre tel que la somme pondérée plus c soit multiple de 10. Pour 978-2-1234-5680, la somme vaut 97, donc c = 3. 3. Ce que la clé détecte 1. Un chiffre faux : le numéro change de (b - a) 10^k avec 0 2. Deux chiffres voisins inversés : le NIR et l'ISBN-10 (modulo 11) les détectent toujours ; l'ISBN-13 les manque lorsque les deux chiffres diffèrent de 5 (par exemple 1 et 6), car 2 5 = 10 0 10. 4. Attention La clé détecte une erreur mais ne la corrige pas : elle ne dit pas quel chiffre est faux. Et deux erreurs simultanées peuvent se compenser.

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