Existence et unicité du quotient et reste de la division euclidienne

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a = bq + r avec la condition fondamentale : **0 r < b**. • Le quotient est la partie entière du rapport : q = a / b . • Pour a < 0, ne pas changer simplement les signes : par exemple, pour diviser -25 par 7 : -25 = 7 (-4) + 3 avec 0 3 < 7 (q = -4, r = 3) • a est un multiple de b r = 0.

Le cours

1. Théorème de la division euclidienne Pour tout entier relatif a (le dividende) et tout entier naturel non nul b (le diviseur), il existe un unique couple (q, r) Z N tel que : a = bq + r avec 0 r q est le quotient et r le reste. Le reste est toujours positif ou nul, même si a est négatif. 2. Pourquoi existence et unicité ? Existence : on prend pour bq le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a, c'est-à-dire q = a/b (partie entière). Alors bq a Unicité : si bq + r = bq' + r' avec 0 r, r' 3. Méthode pour un dividende négatif 1. Calculer a/b et prendre l'entier immédiatement inférieur ou égal : pour -30 et 8, -30/8 = -3,75, donc q = -4. 2. En déduire r = a - bq = -30 - 8 (-4) = -30 + 32 = 2. 3. Contrôler : -30 = 8 (-4) + 2 et 0 2 4. Conséquence utile Dans la division par b, il n'y a que b restes possibles : 0, 1, , b - 1. Tout entier s'écrit donc bk, bk + 1, …, ou bk + (b - 1) : c'est la base des raisonnements par disjonction de cas (par exemple, tout entier s'écrit 3k, 3k + 1 ou 3k + 2).

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