Congruences dans ℤ et arithmétique modulaire

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a b n n (a - b) a et b ont le même reste dans la division par n. • Compatibilité avec l'addition, la soustraction, la multiplication et les puissances entières positives. • Pas de division en général : on ne simplifie que par un entier premier avec n. • Tout carré est congru à 0 ou 1 modulo 3 et modulo 4.

Le cours

📌 Définition de la Congruence Modulo n Soit n un entier naturel non nul (n 1) et soient a, b Z. On dit que a est congru à b modulo n, et on note : a b n ou a b \ [n] si et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : n divise la différence a - b : n (a - b). Il existe un entier k Z tel que a = b + k n. a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Compatibilité avec les Opérations Si a b n et c d n, alors : Addition : a + c b + d n. Soustraction : a - c b - d n. Multiplication : a c b d n. Puissance : Pour tout entier naturel k N, a^k b^k n. Tableaux de Congruences Pour résoudre une équation modulaire ou déterminer le reste d'une expression f(n) pour tout entier n, on étudie les différents restes possibles modulo p dans un tableau fini : Si n 3 \0, 1, 2\, alors n^2 3 \0, 1, 1\. Corollaire capital : un carré parfait n'est jamais congru à 2 modulo 3 ! ⚠️ L'Opération Interdite : Pas de Division Modulo n ! On ne peut JAMAIS diviser les membres d'une congruence comme une égalité classique ! Par exemple : 2 1 2 4 6 (car 2 8 2 6), mais en divisant par 2 on obtiendrait 1 4 6, ce qui est faux (6 3). La division n'est permise que si le diviseur est premier avec le modulo.

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