Divisibilité, division euclidienne et multiples du Collège et Seconde

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Condition absolue sur le reste : 0 r < b (le reste est TOUJOURS strictement inférieur au diviseur et positif ou nul). • b a le reste r vaut 0. • Tout entier pair s'écrit 2k ; tout entier impair s'écrit 2k+1.

Le cours

1. Multiples et diviseurs Soient a et b deux entiers avec b 0. On dit que a est un multiple de b, ou que b divise a (noté b a), s'il existe un entier k tel que a = k b. Un entier pair s'écrit 2k, un entier impair s'écrit 2k + 1 (k entier). La somme de deux multiples de b est un multiple de b : kb + k'b = (k + k')b. Exemple : 91 = 7 13, donc 7 et 13 divisent 91. 2. Division euclidienne (entiers naturels) Pour un entier naturel a et un entier b 1, il existe un unique couple d'entiers naturels (q, r) tel que : a = b q + r avec 0 r q est le quotient, r le reste. Par exemple 100 = 7 14 + 2 : quotient 14, reste 2. Le reste est nul exactement lorsque b divise a. 3. Méthode 1. Chercher le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a : c'est b q. 2. Calculer r = a - bq. 3. Contrôler 0 r 4. Attention L'égalité 58 = 6 8 + 10 est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne de 58 par 6, car 10 6. La bonne écriture est 58 = 6 9 + 4 : le reste est 4.

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