Propriétés fondamentales de la divisibilité dans Z et transitivité

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a b k Z, \, b = ka. • **Transitivité** : (a b et b c) a c. • **Stabilité par combinaison linéaire** : (a b et a c) u, v Z, \, a (ub + vc). • Si a b et b 0, alors |a| |b| (un diviseur non nul est toujours inférieur en valeur absolue). • Si a b et b a, alors a = b ou a = -b (|a| = |b|).

Le cours

1. Définition Soient a, b Z. On dit que a divise b (noté a b) s'il existe k Z tel que b = k a. On dit aussi que b est un multiple de a et que a est un diviseur de b. Tout entier divise 0 (car 0 = 0 a), et 1 et -1 divisent tout entier. a b -a b a -b : les diviseurs vont par paires opposées. Les diviseurs de 12 dans Z sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Si a b avec b 0, alors |a| |b| ; en particulier, si a 1, alors a = 1 ou a = -1. 2. Transitivité et combinaisons linéaires Transitivité : si a b et b c, alors a c. En effet b = ka et c = k'b donnent c = (k'k)a. Combinaison linéaire : si a b et a c, alors a (ub + vc) pour tous u, v Z, car ub + vc = (uk + vk')a avec b = ka et c = k'a. 3. Méthode : éliminer l'inconnue 1. Si d divise deux expressions en n, choisir u et v pour que n disparaisse de u () + v (). 2. On obtient que d divise une constante C : d est l'un des diviseurs de C. 3. Exemple : si d (n + 3) et d (2n + 1), alors d 2(n + 3) - (2n + 1) = 5, donc d \-5, -1, 1, 5\. 4. Attention La réciproque de la combinaison linéaire est fausse : 3 (1 + 2) alors que 3 ne divise ni 1 ni 2. De même, 6 4 9 alors que 6 ne divise ni 4 ni 9.

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