Bilan : Synthèse et méthode sur Arithmétique : Divisibilité, division euclidienne et congruences

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• a b n n (a - b). • Reste d'une puissance : chercher k tel que a^k 1 ou -1 n, puis diviser l'exposant par k. • Divisibilité avec inconnue : éliminer n par combinaison linéaire pour obtenir un diviseur d'une constante. • Un reste vérifie toujours 0 r < n.

Le cours

🎯 Le Devoir Bilan de Mathématiques Expertes : Arithmétique (Partie 1) Le contrôle bilan d'arithmétique s'articule autour de trois méthodes incontournables : l'étude de divisibilité par combinaison linéaire, la détermination des restes de grandes puissances par périodicité modulaire, et la démonstration par disjonction de cas. Méthode 1 : Cycle des Puissances Pour trouver le reste de a^n modulo p : 1. Si a et p sont premiers entre eux, calculer les puissances successives a^1, a^2, a^3, p jusqu'à trouver un reste égal à 1 (ou -1). 2. Si a^k 1 p, la période est k. 3. Effectuer la division euclidienne de n par k : n = kq + r. 4. Conclure : a^n = (a^k)^q a^r 1^q a^r a^r p. Méthode 2 : Disjonction de Cas Pour prouver une propriété arithmétique pour tout n Z : 1. Choisir le bon modulo (souvent 2, 3, 4, ou 5 selon les diviseurs). 2. Dresser la table de congruences pour toutes les valeurs de n p. 3. Calculer les expressions modulo p et constater que la propriété voulue est vérifiée dans chaque colonne. Méthode 3 : Équations en Entiers Pour trouver les entiers n tels que d(n) N(n) : 1. Former une combinaison linéaire u N(n) + v d(n) = C où C est une constante indépendante de n. 2. En déduire que d(n) C. 3. Lister l'ensemble fini des diviseurs de C dans Z, et résoudre les équations correspondantes. Tableau des Critères de Divisibilité Modulaires Diviseur Justification Modulaire Règle Pratique Modulo 2 et 5 10 0 2 et 10 0 5 Dépend uniquement du dernier chiffre Modulo 4 100 0 4 Dépend des deux derniers chiffres Modulo 3 et 9 10 1 3 et 10 1 9 Somme des chiffres décimaux Modulo 11 10 -1 11 Somme alternée des chiffres décimaux

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