Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1. • Probabilité d'un chemin : produit des probabilités de ses branches, P(A B) = P(A) P_A(B). • Si A_1, , A_k forment une partition de : P(B) = _i=1^k P(A_i) P_A_i(B). • Avec deux événements : P(B) = P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B).

Le cours

1. Lire et compléter un arbre pondéré Un arbre pondéré décrit une expérience en plusieurs étapes. Au premier niveau on lit des probabilités P(A), P(A) ; au second niveau des probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B), P_A(B)… Règle des nœuds : la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 1. Règle des chemins : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités lues le long de ce chemin. P(A B) = P(A) P_A(B) 2. Formule des probabilités totales Si A_1, A_2, , A_k forment une partition de l'univers (événements deux à deux incompatibles, de réunion , de probabilités non nulles), alors pour tout événement B : P(B) = _i=1^k P(A_i) P_A_i(B) Cas le plus fréquent, avec la partition (A, A) : P(B) = P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B). Sur l'arbre, on additionne les probabilités de toutes les feuilles qui contiennent B. 3. Méthode 1. Nommer les événements et repérer la partition du premier niveau. 2. Compléter chaque nœud par complément à 1. 3. Multiplier le long des chemins menant à B, puis additionner. 4. Vérifier que P(B) est comprise entre la plus petite et la plus grande des probabilités P_A_i(B). 4. Lien avec les chaînes de Markov Une chaîne de Markov est un arbre pondéré qu'on prolonge étape par étape : passer de l'étape n à l'étape n+1 revient à appliquer la formule des probabilités totales avec la partition formée des états possibles à l'étape n.

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov