Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Graphe probabiliste : graphe orienté pondéré dont les poids sont les probabilités de transition en une étape. • Pour chaque sommet, la somme des poids des arcs sortants, boucle comprise, vaut 1. • m_i,j = probabilité de passer de l'état i à l'état j : coefficients dans [0\ ;\ 1], chaque ligne de somme 1. • Le même ordre des états sert pour les lignes et pour les colonnes.

Le cours

1. Graphe probabiliste Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré dont les sommets sont les états possibles d'un système et dont le poids de l'arc de i vers j est la probabilité de passer de l'état i à l'état j en une étape. Pour chaque sommet, la somme des poids des arcs qui en partent, boucle comprise, vaut exactement 1. Ce poids est une probabilité conditionnelle : si X_n désigne l'état à l'étape n, c'est P_(X_n = i)(X_n+1 = j), la même à chaque étape. 2. Matrice de transition Les états étant rangés dans un ordre fixé, la matrice de transition est M = (m_i,j) où m_i,j est la probabilité de passer de i à j. Elle est stochastique : m_i,j 0 et _j m_i,j = 1 \ pour chaque ligne i Exemple : M = pmatrix 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 pmatrix ; depuis l'état 1 on reste avec probabilité 0,8 et on passe en 2 avec probabilité 0,2. Les colonnes, elles, n'ont aucune raison de sommer à 1. 3. Méthode : traduire un énoncé 1. Lister les états et choisir leur ordre. 2. Pour chaque état de départ, écrire les probabilités de sortie données par l'énoncé. 3. Compléter la ligne par complément à 1. 4. Vérifier que chaque ligne somme à 1 et que tous les coefficients sont dans [0\ ;\ 1]. 4. Attention Une phrase comme « 30\ \% des clients de F passent en M » renseigne la ligne de F (départ), pas celle de M.

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